阿罗不可能定理Arrow’s Theorem

自从“边际革命” 以来，人们似乎认识到，个人偏好序的集合能够形成一个社会秩序，只要存在恰当的社会选择机制或规则，“孔多塞悖论” (Condorcet paradox) 似乎是可以消除的。阿罗 (1950,1951) 的开拓性研究却证明，只要个人和社会的选择顺序满足完备性和传递性，同时满足所有条件的规则是不可能存在的。这就是著名的 “不可能定理”。阿罗因在社会选择领域的开拓性研究而荣获1972年诺贝尔经济学奖。
阿罗用反证法来证明他的定理。假定存在一个程序 (或规则、或社会福利函数SWF)能够使社会选择顺序从个人的选择顺序中推导出来，只要该程序或规则满足以下五个条件：
条件U: 无限制定义域条件。即社会福利函数的定义域必须包括所有在逻辑上可能的个人序列的n-数组，换句话说，不论个人序列是如何多样化，社会福利函数都能够规定一种社会选择顺序。
条件M: 单调性。假定对于给定的偏好序集 (Profile of preference ordering),x社会地优于y。若有一个新的偏好序集，其中x在某些人的偏好序中的位置上升了，而在其他人那儿不下降。那么，在与该新的偏好序集相关联的社会选择顺序中，x仍优于y。
条件Ⅰ: 非相关抉择的独立性 (Independence of irrelevant alternatives)。这一条件要求，只要个人对某一社会状况子集的偏好不变，那么，从该子集中做出的抉择就必须保持不变，尽管个人对其他子集的偏好可能已有修正。
条件N: 非强加性 (Non-imposition)。即规则必定不是强加的。所谓强加性规则，是指存在一种抉择，社会的选择顺序对所有的偏好序集都是相同的。甚至于即使所有的人都认为这些抉择不可取时，社会仍会选择它们。
条件D: 非独裁性 (Non-dictatorship)。如果存在一些个人，他们的严格偏好中的任何一个按规则都是社会偏好，那么这一规则即是独裁的。换句话说，独裁规则下，独裁者的偏好就是社会偏好，所有其他人的偏好都给出了一个不可能定理。
据此阿罗给出了第一个不可能定理。
定理1:不存在满足条件U、 M、 I、 N和D的规则。
不过，阿罗最初的证明是不全完的，他只是说，对于自由三元组，若其他条件被满足，则 “非独裁”条件就遭到破坏。但若考虑更多的抉择时，则难以保证上述五个条件不被同时满足。阿罗证明的不足之处首先是布劳(Blau) 发现的，后来有许多经济学家均提出了各种变型的不可能性，这些变型对阿罗的每一个条件都做了一定的修改。森(Sen,1986)对这方面的工作做了极出色的综述。
阿罗 (1963)对一条件作了修改，增加了条件P，删去了条件M、N。
条件P: 如果每个人在x和y中更偏好x，那么x被社会地偏好于y。
条件P实际上是一个弱帕累托条件，前述条件M、I和N已隐含地包融它了。进一步说，老帕累托条件被采纳，则无须假定单调性和非强加性。根据新的条件，阿罗重新给出了不可能定理。
定理2: 不存在满足条件U、P、I和D的规则。
阿罗不可能定理的影响是深远的，它告诉人们，不可能找到一个令人满意的合乎理性要求的规则来从个人的偏好序出发，推导出社会福利函数或简单的社会选择顺序。尽管一些经济学家，如萨缪尔森等人，试图通过论证阿罗定理与规范经济学无关来解决上述两难问题，但论证难以令人信服。因为个人选择的变动导致社会选择的相应变动，在这一过程中不可能回避规则的作用。甚至简单到假定存在一个固定的个人偏好集合，仍能证明不存在一个理性规则，以期用来从个人偏好序推导出社会选择顺序。这些结果是肯普 (Kemp) 和黄有光(Ng,Yew-Kwang)(1976)和帕克斯(Parks)(1976)等人独立证明的。不可能定理困扰着人们，但人们不会放弃对理想的社会规则的幻想。幸运的是，社会选择理论更多的是一种方法，而不是构造社会福利函数本身。

阿罗不可能定理Arrow’s impossibility theorem

最早由阿罗(1951)提出，表明了不可能找到一种符合“合理的”集体偏好的最优配置方案。考虑3个人记为1,2,3和3种备选方案A,B,C。设他们对这些方案的偏好分别为A>₁B>₁C,B>₂C>₂A,C>₃A>₃B。如果由这3个人组成的社会要作出集体选择，最常用的方法是“多数决定”。在上例中有两个人认为A比B好，那么集体应该认为A比B好。同样，有两人认为B比C好，故集体也应认为B比C好。如果集体的偏好有传递性，则集体应该认为A比C好。可是，又有两人认为C比A好，从而集体必须认为C比A好，这就产生矛盾。
阿罗的研究结果表明，像上述那样的矛盾是一种普遍存在的现象，即不可能找到一种规则，从个人的偏好得到“合理的”集体偏好。所谓“合理的”是指满足如下条件：
(1)自由选择：对所有备选方案，任何人可以有任何偏好；
(2)帕累托原则：如果所有人都认为A比B好，则集体必须认为A比B好；
(3)不相干方案的独立性：集体对任何两个方案的偏好仅与集体成员对这两个方案的偏好有关，而与他们对其他不相干方案的偏好无关；
(4)非独裁性：不存在这样一个成员，只要他认为A比B好(A、B代表任何两个方案)，不管其他成员的偏好如何，集体就得认为A比B好。
不可能定理：对3个以上的方案，不存在任何一种集体选择的方法或规则，能同时满足上述4个条件。