进位制Jinweizhi

设n为大于1的自然数，用n个彼此不同的数字表示数的一般方法叫做n进制。用n进制记数是把所用的数字写成一横行， 每个数字所在的位置不同，表示所含的计数单位也不同，从最右边的一位起某一单位满n个数就组成一个相邻的较高单位，这样的一系列的按“满n进一”的规则得到的单位叫做n进制的计数单位。n叫做底数或进率。例如，十进制有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9十个记数符号，十进制的计数单位是一（个），十，百，千，万，十万，百万，千万，亿， ……组成一个较高单位所需的较低单位的个数是10，即十进制的底数（或进率）是10，进位的法则是“满十进一”。用n进位制表示数时，同一个数字，由于它在所记的数中的位置不同，所表示的数值就不同，这样，每个数字除了它本身的值以外，还有一个位置值，这就是位值原则。应用位值原则，不仅使记数方法变得很简单，而且使计算变得十分方便。使用进位制记数， 人们不必给每一个自然数一个独立的名称，只需要用少量的符号就可以表示任意自然数，这是数学史上的一个伟大创造。在人们的长期实践中，根据需要逐渐形成了不同的进位制，如二进制、五进制、十进制、十六进制、六十进制等，其中最常用的是十进制。随着电子计算机的出现和发展，其他进制，特别是二进制的应用也愈来愈广泛。

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进位制Jinweizhi

当计数和记数已经较为广泛，简单的按一一对应原理进行的刻划记号已经不能满足需要的时候，就必须将计数的方法系统化，于是，进位制就应运而生了。简单地说，进位制的实质在于：选取某一自然数b (一般来说， b>1) 做为计数的基底(base)，也叫记数根(radix)，并定出数目1,2,3，……，b的名称。这时，大于b的数目用已选定名称的数目的组合来表示。
应该指出，就进位制的本来意义而言，并不要求对比b更高级的单位给出专名， 虽然这样做也许更为方便。例如，中国古代的记数系统从一开始形成就是十进制的，它不仅规定了一、二、三、……，十这些专名，而且还规定了百、千、万这样的专名。但另一方面，在介于澳大利亚北部的约克角半岛与伊利安之间的托列斯海峡群岛上的某些部落里， 人们所用的原始二进制用我们的记法写出来就是
1, 2, 1-2, 2-2, 2-2-1, 2-2-2, 这正如我们可以说“十万”而不必给它规定一个专名一样。
还应当指出，进位制与位值制是两个不同的概念。进位制专指以某个确定的自然数为基底， 以及一般的数是如何由这个基底与选定的其他数目组合而成的。这里的 “位”是指更高一级单位， 而不是 “位置”。
现在世界各国通用的记数法是：以印度-阿拉伯数码(0,1,2，…，9)表示的十进位值制。它的确切数学含义是：以10为基底并且采用位值制的记数法。但是在世界数学发展的历史上，采用什么样的进位制，是否采用位值制，使用什么样的数码，都曾经历了长时期的演变。
由于原始人的计数能力很低，可以想象，二、三、四进制曾是远古长期使用的进位制， 而且它们所能表示的最大的数也一定是很小的。前面我们已经看到了原始二进制的一个例子， 在近代一些原始部落中还有许多这样的例子， 如澳大利亚东部的昆士兰土人的计数系统是： “1, 2, 2和1, 两个2, 多”。中非及东南亚一些原始部落的计数系统有的是：“1,2,3,2-2,2-2-1, 2-2-2.”早期叙利亚的记数符号为 “1, ⋎, ⊓,”。在阿根廷火地岛的某部落，头几个数的名称是用3为基底的。南美一些部落则用4为基底，在计数的早期，这些原始的进位制还可能是混合使用的，而且当后来计数系统已经相当成熟的时候， 它们还会在相当长的时期继续存在，例如，在中国古代，虽然十进制始终是占主导地位的进位制， 但在度量衡制度中却混杂着许多其他的进位制， 春秋战国时代的《考工记》中的“车人”章就有“车人之事，半矩谓之宣，一宣有半谓之𣚚，一𣚚有半谓之柯，一柯有半谓之磬折”，在这萌芽状态的角的度量（参见该条）中，运用的可以称之为“11/2进制”，或者可看作三进制的变种，汉初《尔雅》载周代量器，有“匊二升，二匊为豆，豆四升，四豆曰区， 四区曰釜， 二釜有半谓之庾。”三国时的 《孔丛子》：“一手之盛谓之谥，两手谓之掬，掬四谓之豆，豆四谓之区，区四谓之釜。釜二有半谓之䉤,䉤二有半谓之缶，缶二谓之钟，钟二谓之秉，秉十六斛。”这些记载中混杂了二进、四进， 以及“21/2进”制。
在进位制的产生与发展过程中， 人的十个手指留下了最广泛和深刻的印迹。在中国、印度、埃及以及大多数原始民族的语言中，进位制的基底都是10，也就是说，10以下的数都有独立的名称，10以上就使用某种组合原则，直到100，而对于百、千也都有独立的名称，有些语言还给出更大的十进单位。如中国、埃及。在有些语言中，10以上的个别数也有专名，如英文的eleven (11)和twelve(12)，德文的elf(11)和Zwolf(12)，但它们都可追根到ein-lif和Zwo-lif，而lif是古德文中的10。据调查，在北美各原始民族的306种计数系统中，有146种是十进的，106种是五进与十进混用的， 可见十进制是最普及的一种进位制。
由于原始人的计数能力很低， 曾长期停留在只能数出最初几个数目的水平，而人的一只手有五个手指，做为最原始的计数器正适应了这种情况， 因此可以想象，五进制是最初用得很广泛的进位制。至今一些南美部落仍这样计数： “1,2,3,4，手，手和1”；西伯利亚的尤卡吉尔人用的是混合进位制：1,2, 3, 3和1,5，两个3，多1个，两个4,10去1,10。德国农民的日历直到1800年还是以5为基底的，另一个五进制的典型例子是大洋洲新赫布里底群岛的阿皮族语言：一，二，三， 四，手， 另一个， 另两个， 另三个， 另四个，两只手。许多语言的计数系统虽是十进制的，却留有许多五进制的痕迹，因此，可以相信许多十进制系统曾经历过五进制的阶段，罗马数字（参见该条）和玛雅数字(参见“玛雅数学”)都是明显的带有五进制痕迹的进位制。
二十进制也曾被许多民族所使用，它可能起源于计数时手指、脚趾的同时使用，典型的例子是玛雅数字， 中美洲的阿兹台克人的数制则是非位值制的二十进制，在许多欧洲语言中也大量存在着二十进制的痕迹。
另外两种著名的进位制是十二进制和六十进制，前者至今仍广泛应用于英国系统的度量衡制度中，后者是巴比伦人的辉煌创造，并广泛应用于欧洲中世纪时期。

进位制

见“记数法”。