超几何分布chaojihe fenbu

在离散型随机变量中，一类常见的随机变量的分布律的数学模型如下：设有同类产品Ⅳ件，其中含有M件次品，现从中任取n件(0这里l=min (M,n).我们称这种概率分布为超几何分布.

超几何分布

超几何分布是一种离散型的概率分布，常用于流行病学的研究。
概率函数及图形 若总体含量为N例，其中有M例阳性，N-M例阴性；则从该总体随机抽取(每抽1例不予返回就抽下1例)含量为n的样本时，其中恰有X例阳性的概率为：

式中X的取值是从0与(n-N+M)之较大者开始，直至n与M之较小者为止。又

式(1)称为超几何分布的概率函数。
在上述条件下，如果每抽1例重行返回后再抽下1例，则阳性率M/N=π不变，于是n例中恰有X例阳性的概率分布就成二项分布。对于有限总体来说，超几何分布与二项分布的区别就在于此。
已知N、M与n时就能按式(1)算得取不同X值的概率，从而可画出超几何分布的图形。
根据需要还可算出小于及等于指定值X的下侧累计概率，即其分布函数。如上图中指定X=2，则P(X≤2)

为其分布函数。

为上侧的累计概率。

超几何分布(N=18,
M=7,n=4)
性质
(1)均数μ与方差σ²的计算按式(2)与式(3)。

(2)当n≤N-M时，有如下的递推公式：

有了式(4)，就能由p(X-1)递推出p(X)。例如，只要算得超几何分布在X=0的概率，就能依次算出X=1 ,2，…，min(n,M)的概率。超几何分布在X=0的概率有统计表可查，此处从略。
用途
(1)质量检查。如食品、疫苗等质量检查，见例。
(2) 四格表的确切概率计算(见条目“四格表的确切概率法”)。
(3)总体阳性数的估计。当总体含量N已知时，如果抽取一个含量为n（足够大）的样本中有X例阳性，则总体阳性数M的估计量为

M的方差估计量为

(4)总体含量的估计。例如需要调查某一封闭区域有多少能感染钩端螺旋体的黑线姬鼠，可先捕捉一定数量(M)的该鼠。每个鼠做上标志后放还到原地区，再捕捉一个含量为n的样本，观察其中带有上述标志的鼠数X。这样就可按式(7)估计出总体含量N,

例 若某种罐头的合格率要求在99%以上。今从200个罐头中随机抽取4只，检查结果有1只不合格，问这批罐头的质量是否合格？
按99%合格率，200个 (即N)罐头中合格的有200(99%)=198个，不合格的有200-198=2个(即M)。今n=4，于是按式(1)得

按式(4)

本例，M=2,X的取值不能超过2。由此可见，本例发现一只以上不合格的概率为0.0394+0.0003=0.0397，即P<0.05。一般说来，概率这样小的事件在一次抽取中不大会发生。而现在发生了就有理由怀疑：“原来200只中不合格品不止2只”，因而这批罐头的质量可认为是不合格的。