椭圆函数和椭圆积分

在一定意义上讲，椭圆积分是不能表示为初等函数的积分的最简单者；椭圆函数则以某些椭圆积分的反函数而出现。设R为x与y的有理函数，令I=∫Rx,ydx。如果y2为x的二次或更低次的多项式，则I可用初等函数表示；如果y2为x的三次或四次多项式，则I一般不能用初等函数表示，并称之为椭圆积分(如果y2为x的五次或更多次的多项式，则称I为超椭圆积分；如果y满足以x的多项式为系数的代数方程，则称I为阿贝尔积分)。标准的椭圆函数和三角函数相似。三角函数可以定义为某些I形积分的反函数，它们满足微分方程，是周期函数。在几何中，椭圆函数或椭圆积分出现于下列问题的求解中：决定椭圆、双曲线和双纽线的弧长，求椭球的面积，求旋转二次曲面上的测地线，求平面三次曲线或更一般地一个亏格1的曲线的参数表示，求保形表示问题以及其它问题。在分析中，可用于微分方程的分析。在数论中亦有较广泛的应用。在物理科学里，它们在位势理论中，以及在弹性理论、刚体运动、热传导或扩散理论的格林函数中出现。