析因试验

析因试验是一种多因素的交叉分组试验。它不仅可检验每个因素各水平间的差异，而且可检验各因素间的交互作用。两个或多个因素间如存在交互作用，表示各因素不是各自独立的，而是一个因素的水平有改变时，另一个或几个因素的效应也相应有所改变；反之，如不存在交互作用，表示各因素具有独立性，一个因素的水平有所改变时不影响其他因素的效应。下面介绍最简单的两因素析因试验(以“2×2”为例)和较复杂的四因素析因试验(以“2×2×3×2”为例)的设计及其分析方法。
2×2析因试验 2×2设计表示有两个因素，每个因素各有两个水平，共有四个组合。如以A₁表示A因素1水平，A₂表示A因素2水平，B₁表示B因素1水平，B₂表示B因素2水平，各因素的水平之间逐个组合，即成2×2设计，其模型如下：

2×2析因分析时，首先应对4个组合的试验结果作方差齐性检验(见条目“多个方差的齐性检验”)，如已满足齐性要求，即可进行方差分析。方法如下：
(1)作检验假设。有两种： 一是A因素或B因素的各水平间的比较，H₀为A因素或B因素两水平的总体均数相等，即μ1=μ2；二是分析A、B两因素的交互作用，H0为两因素间无交互作用，即彼此独立。
(2)将总变异的离均差平方和SS及自由度v按变异来源分为A因素、B因素、交互作用A×B及误差四部分。SS_A和SS_B的计算公式见条目“单因素多个样本均数比较”。A、B两因素交互作用的离均差平方和SS_A×B的计算需先列副表，如表2，再用式(1)及式(2)。

式中SS_T(AB)为A、B两因素副表总变异的离均差平方和；X_A1B1为A因素1水平与B因素1水平组合的样本观察值，余类推；n为分子中每个合计所包含的例数，C'为校正数(C'区别于因素C)。自由度v的计算：总变异v=总例数-1，某因素v=该因素的水平数-1，交互作用v=有关因素的自由度之积，2×2析因分析中v均为1。
(3)分别计算各因素及交互作用的均方MS(=SS/v)，并与误差的均方相比得F值，如表3。
(4)查F界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。
例1 用新法和旧法分别提取某食物中的甲化合物和乙化合物，观察其回收率，拟比较新旧法间及甲乙化合物间的回收率有无差别？方法与化合物间有无交互作用？试作析因试验。
(1)设计。本例有两个因素，各有2个水平：
A因素： 方法——新、旧，
B因素： 化合物——甲、乙，
交互作用： A×B，即方法×化合物，共有4种组合，对每一组合的样本均按照随机化的原则重复测定4次，资料见表1。
(2)分析。先检验4个样本的方差齐性，得校正x2=6.03,v=4-1=3，查x2界值表得0.5>P>0.05，按α=0.05水准已满足方差齐性要求，可进行方差分析。
方法间：
H₀: 新法与旧法所得回收率相等，
H₁: 新法与旧法所得回收率不等。

表1 2×2析因试验的回收率(%)

测定次数	A1，新 法		A2，旧 法
	B1，甲物 XA1B1	B2，乙物 XA1B2	B1，甲物 XA2B1	B2，乙物 XA2B2
1 2 3 4	52 48 44 44	84 88 90 88	52 44 40 26	47 64 52 45
合 计	188	350	162	208

化合物间：
H₀: 甲乙两化合物所得回收率相等，
H₁: 甲乙两化合物所得回收率不等。
交互作用：
H₀: 不同方法与不同化合物的回收率之间无交互作用，H₁: 不同化合物所得回收率之差因采用不同方法而异，反之亦然。
均取α=0.05。

表2 表1的副表

A因素	B 因 素		合 计
	甲物	乙物
新 法 旧 法	188 162	350 208	538 370
合 计	350	558	908

按式(1)与式(2)合并计算如下：

表3 表1资料的方差分析

变异来源	SS	v	MS	F	P
总	5945	15
方法间 化合物间 交互作用 误差	1764 2704 841 636	1 1 1 12	1764 2704 841 53	33.28 51.02 15.87	<0.001 <0.001 <0.01

由表3可见： 无论新、旧法间，甲、乙两化合物间，以及方法与化合物的交互作用，经方差分析所得P值均很小，按α=0.05水准均拒绝H0，接受H1，回收率之间有差别。结合表2，可以认为新法高于旧法，乙化合物高于甲化合物。又由表1得平均回收率如下：

可见用新法提取时，两种化合物的回收率相差较大，而用旧法时相差较小，二者约为3.5:1。说明方法与化合物之间存在交互作用。
2×2×3×2析因试验 2×2×3×2设计，表示有四个因素，各因素依次有2、2、3、2个水平，共有2×2×3×2=24个组合。如以ABCD表示四个因素，A₁ 、A₂表示A因素的两个水平，同样，B₁、B₂,C₁，、C₂、C₃,D₁ 、D₂分别表示B、C、D因素的各个水平，则2×2×3×2设计的模型如下：

按此模型安排24个组合的试验，每个试验可根据试验条件和具体要求规定重复次数，一般所取次数较少。对试验结果应先作方差齐性检验，然后再作方差分析(参照2×2析因分析加以扩展):
单因素组间比较： A,B,C,D;
一级交互作用： A×B,A×C,A×D,B×C,B×D,C×D;
二级交互作用： A×B×C,A×B×D,A×C×D,B×C×D;
三级交互作用： A×B×C×D。
总共15次检验，目的在于得出各因素的最佳水平及其组合。
析因试验能够分析多种交互作用，以获得丰富的结论，但当因素过多，因素中包括的水平又划分过细时，将使交互作用的内容头绪繁多，不但计算不便，而且对它们的具体解释亦十分错综复杂。故除非必须同时对某些因素进行研究外，一般宜采用较简单的析因试验。
例2 在培养钩端螺旋体时，除已固定若干因素外，拟研究以下四个因素不同水平的效应，求其最佳组合。
A: 血清种类——兔、胎盘
B: 血清浓度——5%、8%
C: 基础液——缓冲剂、蒸馏水、自来水D: 维生素——加、未加
1. 设计。本例A、B、C、D四个因素依次各包括2、2、3、2种水平，故全部试验有2×2×3×2=24个组合。每一组合的样本重复钩端螺旋体计数四次。资料见表4。
2. 分析。对表4中24个组合的方差作齐性检验得校正x2=36.23,v=23，查x2界值表得P<0.05，按α=0.05水准，未满足方差齐性的要求。试把表4数据作平方根变换，得表5。再对表5数据作方差齐性检验，得校正x2=27.80,v=23，查x2界值表得0.5>P>0.05，按α=0.05水准已满足了方差齐性的要求，可用表5数据作方差分析。
血清间：
H₀: 两种血清(A₁与A₂)所得计数相同，
H₁: 两种血清(A₁与A₂)所得计数不同。
浓度间：
H₀: 两种浓度(B₁与B₂)所得计数相同，

表4 2×2×3×2析因试验的钩端螺旋体计数

A×B (血清种类 ×血清浓度)	C×D(基础液×维生素)
	缓冲剂		蒸馏水		自来水
	加	未加	加	未加	加	未加
兔血清×5%	1426 1183 2000 1612	648 1246 1398 909	684 1430 1165 2022	1763 1241 1381 2421	1182 1512 1450 1385	580 1026 1026 830
兔血清×8%	1260 1599 1410 2416	1144 1877 1671 1845	875 2250 1871 1962	1447 1883 1896 1926	1220 1095 1700 2372	1789 1215 1434 1651
胎盘血清×5%	604 1081 487 624	830 853 441 1030	867 771 403 370	920 709 848 574	1243 1115 416 533	1126 1176 1280 1212
胎盘血清×8%	1108 886 831 1159	578 669 643 1002	1115 698 791 559	933 1024 1092 742	1283 1142 677 534	685 546 595 566

表5 表4数据的平方根变换值

A×B (血清种类 ×血清浓度)	C×D(基础液×维生素)
	缓冲剂		蒸馏水		自来水
	加	未加	加	未加	加	未加
兔血清×5%	37.76 34.39 44.72 40.15	25.46 35.30 37.39 30.15	26.15 37.82 34.13 44.97	41.99 35.23 37.16 49.20	34.38 38.88 38.08 37.22	24.08 32.03 32.03 28.81
兔血清×8%	35.50 39.99 37.55 49.15	33.82 43.32 40.88 42.95	29.58 47.43 43.26 44.29	38.04 43.39 43.54 43.89	34.93 33.09 41.23 48.70	42.30 34.86 37.87 40.63
胎盘血清×5%	24.58 32.88 22.07 24.98	28.81 29.21 21.00 32.09	29.44 27.77 20.07 19.24	30.33 26.63 29.12 23.96	35.26 33.39 20.40 23.09	33.56 34.29 35.78 34.81
胎盘血清×8%	33.29 29.77 28.83 34.04	24.04 25.87 25.36 31.65	33.39 26.42 28.12 23.64	30.55 32.00 33.05 27.24	35.82 33.79 26.02 23.11	26.17 23.37 24.39 23.79

H₁: 两种浓度(B₁与B₂)所得计数不同。基础液间：
H₀: 三种基础液(C₁、C₂、C₃)所得计数相同，
H₁: 三种基础液(C₁、C₂、C₃)所得计数不同或不全相同。是否加维生素：
H₀: 加与不加维生素(D₁与D₂)所得计数相同，H₁: 加与不加维生素(D₁与D₂)所得计数不同。
一级交互作用
H0: A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D无交互作用，
H1: A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D有交互作用。
二级交互作用：
H0: A×B×C、A×B×D、A×C×D、B×C×D无交互作用，
H1: A×B×C、A×B×D、A×C×D、B×C×D有交互作用。
三级交互作用：
H₀: A×B×C×D无交互作用，H₁: A×B×C×D有交互作用。
均取α=0.05水准。
总变异的离均差平方和包括4个因素变异、6个一级交互作用变异、4个二级交互作用变异、1个三级交互作用变异和1个误差（剩余变异），分别计算如下。并将结果列于表9，以便分析。
(1)总变异的离均差平方和。计算表5每个组合的合计，列于表6,

表6 表5数据的交互作用的总副表

A×B (血清种类 ×血清浓度)	C×D(基础液×维生素)
	缓冲剂		蒸馏水		自来水
	加	未加	加	未加	加	未加
兔血清5% 兔血清8% 胎盘血清5% 胎盘血清8%	157.02 162.19 104.51 125.93	128.30 160.97 111.11 106.92	143.07 164.56 96.52 111.57	163.58 168.86 110.04 122.84	148.56 157.95 112.14 118.74	116.95 155.66 138.44 97.72

再按四因素分别计算各水平的合计：
A，血清种类： 兔1827.67，胎盘1356.48;B，血清浓度： 5% 1530.24,8% 1653.91;
C，基础液： 缓冲剂1056.95，蒸馏水1081.04，自来水1046.16;
D，维生素： 加1602.76，未加1581.39；总计： 3184.15。

总变异的离均差平方和，由表5数据计算，得

(2)四因素各水平间变异的离均差平方和。

(3)一级交互作用的离均差平方和。包括所有每两个因素的交互作用，共六项。A×B交互作用计算见表7。

表7 A×B交互作用副表(据表6)

A，血清种类	B，血清浓度
	5%	8%
兔 胎 盘	857.48 672.76	970.19 683.72

按式(1)与式(2)合并计算如下：

另5个一级交互作用的离均差平方和及其自由度之计算方法仿此，算式从略，结果为： SSA×C=118.7270 ,V=1×2=2; SSA×D=33.4766,v=1×1=1; SSB×C=34.7938,v=1×2=2;SSB×D=12.4488,v=1×1=1; SSC×D=153.7675,v=2×1=2。
(4)二级交互作用的离均差平方和。包括所有每三个因素的交互作用，共四项。A×B×C交互作用计算见表8。

表8 A×B×C交互作用副表(据表6)

A 血清种类	B×C(血清浓度×基础液)
	5%			8%
	缓冲剂	蒸馏水	自来水	缓冲剂	蒸馏水	自来水
兔	285.32	306.65	265.51	323.16	333.42	313.61
胎 盘	215.62	206.56	250.58	232.85	234.41	216.46

仿式(1)与式(2)推广计算如下：

其余3个二级交互作用的离均差平方和及其自由度之计算方法仿此，算式从略，结果为SSA×B×D=139.6596,v=1×1×1=1;SSA×C×D=24.0976,v=1×2×1=2; SSB×C×D=8.4369,v=1×2×1=2。
(5)三级交互作用的离均差平方和。全部四个因素的交互作用，只有一项，根据表6数据计算。仿式(1)与式(2)推广计算如下：

(6)误差的离均差平方和。从总变异的离均差平方和内减去所有单因素变异和一、二、三级交互作用的离均差平方和，为剩余变异，即误差；自由度的计算方法同此。

表9 表5资料的方差分析

变异来源	SS	v	MS	F	P
总	5086.1650	95
单因素变异
A，血清种类 B 血清浓度 C，基础液 D，维生素	2312.7085 159.3153 19.9309 4.7571	1 1 2 1	2312.7085 159.3153 9.9654 4.7571	97.87* 6.74* <1 <1	<0.01 <0.05
交互作用
A×B A×C A×D B×C B×D	107.8444 118.7270 33.4766 34.7938 12.4488	1 2 1 2 1	107.8444 59.3635 33.4766 17.3969 12.4488	4.56* 2.51 1.42 <1 <1	<0.05
C×D A×B×C	153.7675 116.7202	2 2	76.8838 58.3601	3.25* 2.47	<0.05
A×B×D A×C×D B×C×D A×B×C×D	139.6596 24.0976 8.4369 138.1292	1 2 2 2	139.6596 12.0488 4.2184 69.0646	5.91* <1 <1 2.92	<0.05
误差	1701.3516	72	23.6299

方差分析的全部结果列于表9，其中P值按所得F值，由F界值表查得。有五项F值记“*”，表示按α=0.05水准拒绝H0，接受H₁，认为有差别：
❶血清种类(A)间： 用兔血清培养优于用胎盘血清；
❷血清浓度(B) 间： 用8%血清浓度培养优于用5%的血清浓度；
❸血清种类与血清浓度(A×B)二者间有交互作用，可认为用兔血清培养时，8%的浓度优于5%的浓度，而用胎盘血清培养时，8%的浓度与5%的浓度相差甚微；
❹基础液与维生素(C×D)二者间有交互作用，可认为用缓冲液或自来水作基础液时，加维生素培养优于不加维生素，而蒸馏水作基础液时，不加维生素培养优于加维生素；
❺血清种类、血清浓度与维生素(A×B×D)三者间有交互作用，可认为用5%浓度兔血清或8%浓度胎盘血清时，加维生素优于不加维生素，而用5%浓度胎盘血清时，不加维生素培养优于加维生素培养，至于用8%浓度兔血清培养时，加或不加维生素培养效果无差别。
综合上述五项，可将所分析的四个因素归纳出以下三种最佳组合方案：
❶8%浓度兔血清用蒸馏水作基础液，不加维生素；
❷8%浓度兔血清用缓冲剂作基础液，加维生素；
❸8%浓度兔血清用自来水作基础液，加维生素。