杨辉

南宋数学家。字谦光，钱塘（今浙江杭州）人。与秦九韶、李冶、朱世杰是金元之际数学上的四大家。论证弧矢公式，被称为“辉术”，著有《详解九章算法》(1261年)十二卷，其中《开方作法本源》，论证二项式系数可排成三角形，比法国市列兹·巴斯加(1623—1662年)的《巴斯加三角形》早约三百五十年。杨在数学上主要贡献是民间实用数学和各种简捷算法，并为珠算盘的产生奠定基础。著有《日用算法》、《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》和《杨辉算法》、《杨氏算法》等。在《杨辉算法》、《乘除通变算宝》等中列有珠算除法“九归”口诀，介绍筹算乘、除的各种简捷算法(如乘法互换、加减代乘除、斤求两、两求斤等算法)，对后来省算工作的推广影响甚大。

152 杨辉

南宋数学家、数学教育家。字谦光，浙江钱塘(今杭州)人。约生活于13世纪中后叶。生平不详。著述甚丰，共5种21卷：《详解九章算法》12卷、《日用算法》2卷、《乘除通变本末》3卷、《田亩比类乘除捷法》2卷、《续古摘奇算法》2卷。后三种合称《杨辉算法》。内容比较浅显，多为与日常生产、生活相关的问题。配以插图，生动直观。首创以诗歌、口诀表述问题，并概括各种数学方法，颇利于初学者理解、记忆和运用。杨辉致力于简化算法的研究，总结出“单因”、“重因”、“九归”、“加减代乘除”、“求一”等多种筹算乘除捷法。为后世演变为珠算口诀奠定基础。丰富和发展了沈括隙积术成果，给出了级数求和的方垛、果子垛、三角垛、四隅垛等公式。推进了垛积术的研究。创用“纵横图”之名，并对其构成规律有所发现和概括，为前代所未有。其著作广收博引古代数学典籍，使今已失传的数学成就得以传世。如著名的开方作法本源图(贾宪三角)、增乘开方法等。杨辉十分重视数学的普及，其著作多为普及型的数学教科书。在《算法通变本末》中列出的“习算纲目”，是杨辉多年从事数学教育的经验总结。可视为一份初等数学教学大纲，是中国数学教育史上的重要文献。他提倡由浅入深、循序渐近、熟读精思、融会贯通。重视计算能力的培养，强调例题的典型性，要“举一(例)而三隅反”。其先进教育思想和教学方法对后世有深远影响。

杨辉13世纪Yanghui

中国数学家。南宋末年钱塘（今杭州）人，他的数学著作据记载有五种二十一卷，其中保存了许多重要的古代数学资料。北宋数学家刘益创立正负开方术， 打破过去方程系数仅取正数的限制，是高次方程理论的重要进步；贾宪创立增乘开方法与开方作法本源， 这些成果都是靠杨辉的记载才得以保存的。他的书中还记载了唐宋间筹算改革的许多内容，包括与今天珠算九归口诀已大致相当的“九归新括”。他还编写了一篇“习算纲目”，对数学教学内容作了分类，然后对学习顺序、时间安排、教材、参考材料、复习巩固等方面都提出了明确要求， 在学习方法上强调熟读精思，循序渐进、融汇贯通，提倡理解而反对死记硬背， 是古代数学教育史上少有的珍贵文献。
杨辉著作中最为独到的内容，是他在《续古摘奇算法》(1275)中对纵横图（即幻方）所作的深入研究。其中收入3、9、10阶幻方各一，4、5、6、7、8阶幻方各二，还有一些相当于今天所说“幻圆”的数字阵。他对奇数阶、3n阶及双偶数阶幻方都提示了具有一般性的构造方法。成为中国古代最早对幻方进行系统的数学探讨的数学家。在当时的世界上也居于领先地位，仅从3n阶幻方的构造就不难看出杨辉是何等地匠心独运。洛书即3阶幻方，在中国古已有之。杨辉给出的两个6阶幻方和一个9阶幻方均明显地可划分为9个更小的方阶， 每个小方阵中的各数均由9的倍数加上圆圈中的数字构成， 而这些圆圈中的数字按其所在小方阵的位置恰好构成了洛书。每个小方阵的结构，在6阶幻方中基本一致，在9阶幻方中则完全一致。其和谐、对称、统一，富有规律，在数学上达到了十分优美的境界，体现了高度的理论水平。

洛书

13	22	18	27	11	20
31	❹	36	❾	29	❷
12	21	14	23	16	25
30	❸	❺	32	34	❼
17	26	10	19	15	24
❽	35	28	❶	❻	33

六六图

❹	13	36	27	29	❷
22	31	18	❾	11	20
❸	21	23	32	25	❼
30	12	❺	14	16	34
17	26	19	28	❻	15
35	❽	10	❶	24	33

六六阴图

31	76	13	36	81	18	29	74	11
22	40	58	27	45	63	20	38	56
67	❹	49	72	❾	54	65	❷	47
30	75	12	32	77	14	34	79	16
21	39	57	23	41	59	25	43	61
66	❸	48	68	❺	50	70	❼	52
35	80	17	28	73	10	33	78	15
26	44	62	19	37	55	24	42	60
71	❽	53	64	❹	46	69	❻	51

九九图

杨辉约13世纪

中国南宋数学家，曾在《详解九章算法》中注贾宪于11世纪已掌握开方作法本源（即杨辉三角）和增乘开方法。著作甚多，其《续古摘奇算法》是宋代研究纵横图的重要著作。

杨辉

南宋数学家。字谦光。钱塘（今浙江杭州）人。著有《详解九章算法》 (1261)十二卷、《日用算法》 (1262)二卷、《乘除通变算法》 (1274) )三卷、《田亩比类乘除捷法》 (1275)二卷、《续古摘奇算法》 (1275)二卷。在《乘除通变算法》中他创立了“九归”口诀，介绍了筹算乘、除的各种速算法。