完美正方形Wanmei zhengfangxing

我们能不能将一个大正方形分割为一些彼此互不相同的小正方形？或者反过来说，我们能不能用一些大小各不相同的小正方形拼合成一个大正方形？这样的一个大正方形，叫做完美正方形 （又称完全正方形）。
第一个完美正方形是由英国剑桥大学的四位数学家组成的研究小组于1938年发现的， 可分为69个小正方形，因此称为69阶完美正方形。此后，又有许多其他阶的完美正方形被发现。于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。

利用电子计算机已经证明： 不存在20阶或20阶以下的完美正方形。1978年，荷兰数学家A. J. W.杜伊杰斯廷(Duijvestijn)发现了21阶的完美正方形，边长为112，如图 （图中数字为小正方形边长）。更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何矩形。杜伊杰斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。
既然我们能用边长互不相同的一些小正方形拼合成一个大正方形，那么，能不能用边长分别为1,2,3,4，……（即相继的自然数）的正方形去铺满整个平面？在这里请注意：平面是可以在各个方向任意延伸的，自然数的个数是无穷的。我们的问题要求：对每一个自然数，恰好有一个相应边长的正方形被铺在平面上；平面上的任何一个区域都要被这些正方形覆盖住， 任何两个正方形之间既不能互相重叠， 也不能留下空隙。
自从完美正方形被人们发现之后， 这个问题就被注意到了，但至今仍未能获得解决。利用著名的斐波那契(Fibonacci)数列的性质，已经证明用这样的正方形至少可以铺平面的四分之三。也就是说，任取平面上一块足够大的区域， 则其中没有被盖住的部分面积之和不会超过四分之一。当然，这离问题的彻底解决可能还是相当遥远的。