垛积招差术(高阶等差级数)

 元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》中，对高阶等差级数求和问题进行了系统而详细的研究，接触了更复杂的问题，取得普遍解法。《四元玉鉴》卷中“茭草形段”门、“如象招数”门，计12题；卷下“垛叠藏”门21题，都是已知各种高阶等差级数总和，反求其项数的问题。解决这些问题需要按照级数求和的公式列出一个高次方程来，然后，再用“正负开方术”求出方程的正根。朱世杰在《四元玉鉴》卷中之十“如象招数”门中，讲了招差术问题。实际上属于高阶等差级数问题，但求和时是用招差公式。由于朱世杰比较全面地掌握了级数求和方面的知识，特别是掌握了各种三角垛求和方面的知识，才使他在中国数学史上第一次正确地列出了高次招差公式。他正确地指出了招差公式中各项系数恰好依次是各三角垛的积，这是他的突出贡献。在欧洲，格列高里在1670年首先对招差术加以说明，后来牛顿在1676和1678年的著名作中阐述了招差术的普遍公式。