同解变形tongjie bianxing

使方程变为它的同解方程的过程叫做同解变形.关于方程的同解变形，主要有下面的三个定理.
定理1 在方程的两边都加上同一个整式（单独的一个数也是整式），所得方程与原方程同解.
用此定理时一定要注意加上的解析式是整式的条件，否则所得方程不一定与原方程同解.例如，方程2x-1=3的两边都加上分式4/(x-2)所得方程2x-1+4/(x-2)=3+4/(x-2)与原方程并不同解.因为原方程的解x=2使新方程的分母为零，方程无意义.
由定理1易得到移项法则：方程中的项改变符号后可以从方程的一边移至另一边.
定理2 方程的两边都乘以同一个对方程的未知数的一切允许值都有意义且值不为零的解析式，所得方程与原方程同解.
显然，方程两边都乘以同一个非零的数也符合定理条件.
用此定理时，必须注意所乘解析式对原方程中未知数的一切允许值都有意义且值不为零的两个条件.例如，把方程x²-4=3x的两边都乘以解析式1/(x-4)所得方程(x²-4)/(x-4)=3x/(x-4)与原方程并不同解，原因是所乘解析式并不是对原方程未知数的所有允许值都有意义.当x=4时，1/(x-4)无意义，而x=4是原方程的一个解.又如，方程(x²+1)(2x-3)=(x²+1)(x-1)可以认为是由方程2x-3=x-1的两边都乘以解析式x²+1所得.这两个方程在实数集里同解，在复数集内不同解.原因是在实数集内x²+1≠0，在复数集里x²+1的值有为零的时候，使x²+1=0的x值是方程(x²+1)(2x-3)=(x²+1)(x-1)的解而不是原方程2x-3=x-1的解，这就产生了增根.
定理3 若方程的一端为零，另一端是几个因式的乘积，则使各个因式分别等于零而得到的几个方程与原方程同解.
本定理是用因式分解的方法解方程的理论依据.
例如，要解方程x³-3x²-x+3=0，可将方程左端分解因式，得到方程

(x+1)(x-1)(x-3)=0

据定理3，只要解下面三个方程

x+1=0,x-1=0,x-3=0

得到原方程的解为：

x₁＝-1,x₂＝1,x₃＝3.

在解方程时，若进行的变形都符合上面的三条定理，则保证是同解变形，所得方程之解皆为原方程之解，且不会失根，故不必进行检验.