可重复的组合ke chongfu de zuhe

从n个不同的元素里，每次取出m个元素，允许所取的每一个元素重复出现1,2，………，m次，不管怎样的顺序并成一组，叫做从n个元素中每次取出m个可重复的组合，其中mn均可。这种不同的组合种数，记作H_n^m。
例如，从A= {a₁,a₂,a₃} 的三个元素中，每次取两个，不重复的组合为： a₁a₂,a₁a₂,a₂a₃，组合数为C₃²＝3 （个）; 可重复的组合为： a₁a₁,a₁a₂,a₁a₃,a₂a₂,a₂a_s,a₃a₃，组合数为6 （个），用H₃²表示可重复的组合数，即：
可重复组合的模型为：设有带号码1,2，………，n的n种球，每种都有足够多的个数 （也就是可重复），在这一堆球中，任意取出m个 (m可以大于n)，不计它们的次序，组成一组，则其不同组合的数目为： H_n^m =C_n+m-1^m。
上述模型也可表述为：设袋中有带号码1,2，………，n的球各一个，在这n个球中任取一个，记下其号码后，放回袋中； 然后再取一个，同样记下号码后，放回袋中；………；依次重复m次，一共记下m个号码。不计它们的次序，归成为一组，则其不同组合的数目为, 有时把可重复的组合数记作
一般地，有如下定理：
在集合A= {a₁,a₂，………，a_n} 中，每次取m个元素的可重复的组合数为

证 先将H_n^m个所有重复组合中所含元素都按足码先小后大的顺序加以排列 (因为组合与元素的排列顺序无关，这样加以排列对于各个组合没有影响)，足码最小的元素放在最左边，足码愈大的愈放在右边，足码相同的邻接。为了明确起见，不妨以一个组合为例

再将各元素下标依次加上0,1,2，………，(m-1)中的一个，使得上述组合成为

在这个组合中，m个元素变得都不相同，且下标的最小数字为1，下标的最大数字由n变为n+m-1，因此，它就成为从n+(m-1)个不同元素里每次取m个元素不重复组合中的一种组合。对所有组合都如此处理，因而都变为由a₁到a_n+(m-1)的n+ (m-1)个不同元素里每次取m个元素的不重复的组合，反之，将由a₁到a_n+(m-1)的n+ (m-1) 个元素每次取m个的不重复的组合每一个，先依其足码大小次序将每个元素排列，再将各足码的下标依次减去0,1,2，………，(m-1)中的一个，则所有不重复的组合都变为上述有重复的组合，因此，由n个不同元素中，每次取m个元素的重复组合数，等于由相应的n+(m-1)个不同元素中，每次取m个的不重复的组合数，即