变换群bianhuanqun

一组变换，对变换的乘积构成的群.设G为M上的有限或无限个变换的集合，若满足下面两个条件：
❶集合G中任意两个变换的乘积仍属于G;
❷集合G中每一个变换必有其逆变换，而且这个逆变换也属于G，则称G为M上的一个变换群。
例如，平移变换可以构成一个群：平面上任意两个平移变换的积仍是平移变换；每个平移变换都有逆变换，这个逆变换就是按原变换相反方向的变换，所以仍是平移变换(参见“平移变换的性质”).
用变换群来研究对应的几何学的观点，是由德国数学家克莱茵首先提出来的.1872年，克莱茵在埃尔朗根大学的教授就职演讲中，提出题为《关于近代几何研究的比较》的论文，论述了变换群在几何中的主导作用.他把到当时为止已发现的所有的几何，统一在变换群的观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，即把几何定义为在某个变换群之下研究图形不变性质与不变量的一门科学.这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位，为用近代数学方法研究几何学开辟了道路，因此后来把它简称为《埃尔朗根纲领》.
按照变换群的观点，几何学可以这样分类：研究射影变换群、仿射变换群、相似变换群、正交变换群下不变性质和不变量的几何学分别是射影几何学、仿射几何学、抛物几何学、欧氏几何学.正交变换群也称为运动群，欧氏几何学的主要内容就是研究运动群下不变性质和不变量的几何学.近代发展很快、应用越来越广的一门学科——拓扑学，就是研究拓扑变换下不变性质和不变量的几何学。