函数极值存在的充分条件hanshu jizhi cunzai dechongfentiaojian

极值的第一判别法：设函数f (x)在点x₀连续，在x₀的某一空心邻域U⁰ (x₀,δ)内可导.
❶若当x∈ (x₀-δ,x₀)时，f′ (x) >0，当x∈(x₀,x₀+δ)时，f ′ (x) <0，则函数f (x)在点x₀取得极大值；

❷若当x∈ (x₀-δ,x₀)时，f′ (x) < 0，当x∈(x₀,x₀+δ)时，f′ ,(x) >0，则函数f (x)在点x₀取得极小值；

❸若当x∈ (x₀-δ,x₀) 及x∈ (x₀,x₀+δ) 时f′ (x)的符号相同，则函数f (x)在点x₀无极值.
极值的第二判别法：设函数f (x)在点x₀的某个邻域U (x₀,δ)内可导，且f ′ (x₀) =0,f″ (x₀)存在.
❶若f″ (x₀) <0，则函数f (x)在点x₀取得极大值；

❷若f″ (x₀) >0，则函数f (x)在点x₀取得极小值.
由于连续函数只能在稳定点与导数不存在的点取得极值，我们只需判定这两类点是否为极值点. 对于稳定点，用极值的第二判别法来判定比较便利. 但当二阶导数为零或不存在，或二阶导数的表达式非常繁复，难于计算时，就应该用极值的第一判别法来判定.
至于导数不存在的点，则只能用极值的第一判别法来判定.