农作物产量多级系统（对称）抽样调查对称

抽样调查(mul-tistage systematic sampling survery incrop yield) 概率抽样的一种综合设计。中国
农村调查长期应用划类选典法，统计工作者结合实际情况吸收概率抽样的做法运用了这种调查方法。
多级抽样 ❶由各省(自治区、直辖市)分别抽县，县抽乡， 乡抽村队（或组），组抽地块或农户，地块抽实割实测点。级数的多少可根据实际情况确定。各级抽样时，以系统（对称）抽样法为主（地块抽实割实测点则按一般系统抽样法）。系统（对称）抽样法要求抽取的样本单位关于双层(第一、第二两个层，第三、第四两个层等)之中点为对称。以北京市某县某乡1977～1979年按播种面积计算的粮食平均每亩产量排队，结合播种面积，抽出7个队（组）为例，说明对称系统抽样法的排队及抽样方法。本法先将各队（组）按3年(1977～1979)粮食平均每亩产量由低到高排队编号，结合各队（组）三年粮食平均播种面积，依次计算累计播种面积（如表），以造成线性关系。
❷计算每层长度k，作

北京市某县某乡1977～1979年按播种面积计算粮食平均每亩产量排队

队（组） 编 号	队（组）名	粮食年平均 亩产（公斤）	粮食年平均 播种面积 （亩）	累计粮食 播种面积 （亩）
1 2 3 …… 124	霍 村 西红门三队 碱 村 …… 小 白 楼	162 163 165 …… 356	1 720 746 2 314 …… 1 137	1 720 2 466 4 780 …… 182 560

为分层及取样的依据。每层长度k=总播种面积N÷样本单位数n=182560÷7=26080。
❸层数确定后，在第一层随机抽取第一个样本单位，其所在位置为i。本例随机数i=2133。在表中由累计面积确定，由于本方法采取样本单位关于双层之中点为对称的原则，第二层抽取的样本单位为2k-i=2×26080-2133=50027,i=2133，与2k-i=50027，二者是关于点26080为对称。对称系统抽样如图a所示。同样，第三层所抽取的样本单位为2k+i，第四层为4k-i等。取样的一般算式为2ck±i,i为在第一层随机抽取数，其符号从第二层起依次为-、+、-、+……，k为每层长度（抽样距离）,c为确定层次的参数，从第二层起依次为1、1、2、2、3、3……。
系统（对称）抽样法的特点 ❶运用辅助信息或有关标志（三年粮食平均每亩产量或上年每亩产量排队），以提高抽样效果。在基层抽选地块时，如果有当年目测估产资料，则抽样效果更好， 如辅助信息x（上年亩产）与所研究现象y（本年亩产）相关，会大大减少抽样误差。因此， 对有关标志除根据已有知识外， 还要进行相关分析，计算出相关程度的大小，即相关系数， 以测定所研究现象的精确度。在农作物产量调查中， 辅助信息用前三年平均数还是用上年数， 从理论上讲，辅助信息只提供各样本单位每亩产量间之比， 并不由此得出本年指标的大小。况且根据大量计算， 用上年数计算的相关系数与三年平均数的差别不大。在计算上， 前三年平均较为复杂， 而上年数不仅符合近期指标起主要作用的设想， 也可简化计算手续。
❷引进播种面积， 加强了随机性， 突出了不等概率。由于本方法是按每亩产量结合播种面积排队的， 计算每层长度k不是按每亩产量的顺序号数， 而是取决于播种面积。由于播种面积为连续变量， 用系统抽样法重复抽取样本时，有大量样本可供抽取，增强了样本的随机性。随着概率科学的发展，不等概率在抽样误差上的应用，赋予随机样本以更广泛的意义。本方法由于引进播种面积而具有这一优点。不等概率在推算总体单产时还具有加权作用。
❸以排队论为依据，对称随机抽取样本。如果按每亩产量高低排队，每隔k个抽取一个样本单位。由于系统抽样的特点， 当第一层的抽样单位一经确定，其余各层的样本单位就完全确定了。现在随机数如为较小的数2 133，则第二层的样本单位数所在位置为26080+2 133=28 213, 也为较小的数。反之，在第一层为较大的数， 其余各层也为较大的数。这就是顺序排队用一般系统抽样法所产生的系统误差。为了改正这个缺点， 要求第一层正排列（由左到右）, 第二层反排列（由右到左）, 再按各层左端等距布点， 如图(b)所示。第一层为2 133, 第二层为50 027，两层的样本单位大小搭配。大小搭配的作用， 在系统抽样误差的一种公式中表现得更为明显。

(b)
对称系统抽样示意图

V(Ȳsy)=(S2/n)[(N-1)/N)][1+(n-1)ρω]
大小搭配可以造成公式中的样本内的相关系数ρω为负数， 使抽样误差大为缩小。这种抽样法的布点， 也可改为容易接受的正排列形式，如图(a)及取样代数式所示，而不失去其性质。另外，从取样代数式2ck±i还可证明各样本单位具有非常强的代表性，例如第一、第二两层，样本单位所在位置可以证明适在第一层中点，也在第二层中点， 这是因为在第一层随机抽取的i，与第二层样本单位2k-i的和为i+2k-i=2k。而第一层中位数为K/2，第二层中位数为1(K/2), 二者之和也为(K/2)+1(_K/2)=2k, 其余对应层亦同。这样不仅形成对称概念，且与各层的平均数很接近， 使抽样误差大大减少。如果层次为奇数， 则在最后一层取中位数。以上是关于双层中点为对称的取样法。也可用关于全序列中点为对称的取样法， 二者结果大致相同， 但前者较后者便于计算。
❹多级系统（对称）抽样误差。系统（对称）抽样法重视各总体单位的大小在抽样中的作用，因此，设计抽样误差时要用不等概率。由于不放回不等概率具有数学与计算上的困难，致使其发展受到影响。同时，在多级抽样中第一级误差占很大比重， 为了减少计算上的困难，不等概率也可只要求在第一级误差上使用。也可这样设想， 每层只抽一个单位，不用单位的大小，而用层的长度k作为权数，也是合理的。由于每层的长度相同， 则在抽样中可用等概率求抽样误差。由于抽样误差的估计式， 可采用折层法计算估计抽样误差的方法。这是因为系统（对称）抽样法， 实质上是把两层作为一个大层， 适于用折层法计算估计抽样误差。
❺按行政系统分级（阶段）抽样， 可以适应抽中的各级政府的需要。对组织调查来说， 分级抽样可以克服由中央直接编制抽样框的困难，且便于分级抽取样本，监督抽样调查工作， 充分利用有关单位的人力，节省费用。此外，系统（对称）抽样，合乎均匀分布样点的原则， 又简便易行， 容易为工作人员和群众所接受。
本调查是以一定辅助资料为前提设计的， 如果基层不具备条件， 需经上级批准才能改用一般系统抽样法或其他随机抽样法。