不定方程buding fangcheng

方程的个数少于未知数，而且未知数又受到某些条件的限制（如整数或正整数等）的方程，称作不定方程.
不定方程是数论中最古老的一个分支.古希腊数学家丢番图曾为寻求整系数不定方程的整数解的问题作过杰出的工作，因此人们通常把这样的不定方程叫做丢番图方程.

不定方程Budingfangcheng

方程就是含有未知量的等式，解方程就是确定方程中未知量的值，使等式成立，这样的值，称为方程的解。有的方程有很多甚至无穷多解，这样的方程叫不定方程。列不定方程是解应用题的常用方法， 方程列出后， 根据问题本身的要求，从多个解中找出其中合理的或合乎要求的解。同余问题实际上就是一种不定方程， 这种问题一般要求求最小正整数解 (参阅 “同余问题”条)。
例1:把34/15写成二个分母分别为3和5的正分数之和。
解： 列出不定方程：
34被3除余1，而5被3除余2，故x只能取被3除余2的值，即x=2,5,8，…， 当x=2时解得y=8；当x=5时，解得y=3; 当x=8或更大时，y将取负值，
例2:（第一届华罗庚金杯赛决赛第一试）:一小和二小有同样多的同学参加金杯赛， 学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车。后来每校各增加一个人参加竞赛， 这样两校需要的汽车就一样多了。最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车。问最后两校共有多少人参加竞赛？
解：由题意，两校最初参赛人数被15整除，而被13除余12，因为各增加一个人时，一小要增派一辆车，二小不须多派车。再增加一个人时， 二小须加派一辆车。根据中国剩余定理(参见“中国剩余定理的应用”条), 满足以上条件的数可依下式
195y+12×7×15=x,
求得， 式中y取整数值， 由上式得到的x的正整数解为： 90,285,480, …。其中90被15除商为6，余数为零，被13除，商为6，余12，适合题目要求（二小比一小多派一辆汽车）。因此， 最后两校共有2× (90+2) =184人参加竞赛。
另外一种解法是根据人数和车数都必须是自然数，列方程求解，设最初两校各有x人参赛，一小须y辆汽车，那么15y=x，这是因为再多派一人，须增加一辆汽车。同理：13(y+1)=x+1，解这个方程组，得y=6, x=90。
例3:有2分、5分的硬币若干枚，合计2角3分，问两种硬币各有多少枚？
解： 设有2分硬币x枚， 5分硬币y枚， 则
2x+5y=23。
由于x、y必须是非负整数，而23是奇数，故y是奇数，y=1或3，当y=1时，x=9，当y=3时，x=4。因此有2分硬币4枚，5分硬币3枚，或有2分硬币9枚，5分硬币1枚。

不定方程

一个含有两个或两个以上未知量的方程。它一般有无穷多个解。特别对于整系数的不定方程要求解也是整数时，称此方程为丢番图(Diophantus)方程。不定方程是数论研究的内容之一。

不定方程

indefinite equation