19世纪数学shijiu shiji shuxue

19世纪是近代数学全面发展和成熟的时期，也是现代数学的黎明期，旧领域的扩大，新领域的开拓，数学观念与方法的重大变革，使它比过去任何时代都更为深刻地改变了数学的面貌.
分析学继续发展，是数学的主流，并受到来自物理学的巨大推动.无穷级数方面两个突出成果是级数的收敛性与傅立叶级数.1812年高斯建立了超几何级数的收敛性；其后，柯西广泛论述了级数的收敛性，给出了收敛与发散的明确定义和著名的柯西收敛准则(1821)；维尔斯特拉斯建立了一致收敛概念，并用以给出逐项积分及在积分号下求微分的条件(1842).
1822年，傅立叶在名著《热的解析理论》中为解决热传导问题建立了傅立叶级数，证明任何函数都可表为傅立叶级数，使函数概念发生巨大变革，并导致了傅立叶分析这一重要分支.微分方程由于物理学的推动取得了巨大进步.1822年，傅立叶导出了热传导方程，给出了偏微分方程的傅立叶解法.其后，他和柯西、泊松等又寻求用初等函数及其积分表示的解.常微分方程的一个重大进展是柯西证明了初始问题解的存在性.1881—1892年，庞加莱(Poincare)及李雅普洛夫创立了常微分方程定性理论.
单复变函数理论是19世纪最独特的创造之一.19世纪初，高斯、泊松做了初步工作.柯西开创了系统的研究，提出并发展了留数理论，推出了著名的柯西定理和柯西积分公式.与此同时，阿贝尔加雅可比创立了椭圆函数论.稍后，维尔斯特拉斯引入了解析开拓方法，建立起解析函数理论.1850年左右，柯西等人开始了对多值函数的研究.1857年，黎曼引入了黎曼面，成为处理多值函数的关键思想，奠定了复变函数的理论基础.实变函数论虽然直到本世纪初才完整地建立起来，但19世纪已有不少工作.1881年哈纳克引入了容量概念.以后为皮亚诺、约当所改进.在此基础上，波莱尔于1898年开创了测度理论，本世纪初由勒贝格取得决定性进展.
微积分创立以后，含混的概念与形式地引入的方法使它产生了不少矛盾.19世纪，在分析学迅速发展的同时，人们开始深入地考虑其基础问题.1817年，波尔查诺第一次通过极限定义了连续与导数，1821—1829年，柯西建立了极限理论，由此出发定义了一系列基本概念，1856年，维尔斯特拉斯提出了“ε-δ”方法，完成了数学分析的算术化.于是，分析基础的严格性归结到实数理论的严格性，许多数学家给出了不同的处理.最有影响的是戴德金的分割与康托的基本序列，都发表于1872年.对有理数理论的研究，分别由戴德金(1888)与皮亚诺(1889)所完成.皮亚诺从五条著名的自然数公理出发所做的这项工作，成为现代有理数理论的标准叙述.
19世纪代数学最突出的成果是伽罗华的群论，其思想意义又远远超出了代数学的范围.这一工作来源于一个古老的问题：五次以上的代数方程，能否用公式方法求解.自16世纪得到三、四次方程的公式解之后，这个问题一直使数学家们苦苦追寻.1770年，拉格朗日通过对二、三、四次方程解法的分析，发现求解五次方程需要借助一个六次辅助方程，这使他洞察到：用代数运算求解一般五次以上方程是不可能的，对此，1824年阿贝尔给出了严格证明，但是他没能解决哪些方程能用公式解，哪些不能的判定问题.受到这些工作的启发，通过引入“群”的概念，年仅20岁就因决斗而身亡的青年数学家伽罗华证明了如下判定定理：一个n次方程代数可解的充要条件是它在系数域F中的群的一系列极大不变子群的组合因数都是素数.伽罗华的工作，不仅在于彻底解决了一个困扰数学家们如此之久的古代难题，更在于它引入了一种全新的数学思想和方法——群论，成为抽象代数——现代数学最重要的领域之一的开端.伽罗华的思想长期不能为人们所理解，直到他死去14年之后，他的有限而珍贵的手稿才陆续发表.此后阐述他的思想与建立置换群、抽象群理论的工作同时展开.塞雷特于1866年，约当于1870年澄清和发挥了伽罗华理论；凯雷于1849年，戴德金于1858年先后提出了抽象群；索福斯·李于1874年研究了连续群；1878年约当引入了群的表示法.
19世纪代数学发展的另一条线索是从复数到四元数，再到“扩张的量”和向量.1797年和1806年，韦塞尔和阿冈先后给出了复数的几何表示.1837年，哈密尔顿指出复数a+bi只不过是实数的有序偶(a,b)，这导致人们去寻找三维以上的“复数”，于是哈密尔顿于1843年创立了四元数理论，给数学家们以深刻的启示，即可以更偏离实数和复数的通常性质而去创造新的有用的“数”系.与哈密尔顿差不多同时，格拉斯曼发展了他的扩张论，研究有几个分量的超复数，其思想有助于20世纪初的数学家建立一门崭新的数学分支——张量分析.19世纪70至80年代，由于物理学的需要，麦克斯韦、吉布斯和希维塞德发展了三维向量理论.此外，1815年，柯西给出了行列式的第一个系统的几乎是现代的处理.1855年，凯雷创立了矩阵论，在数学和物理学中它们都成了强有力的工具.
19世纪的数论是以高斯的不朽著作《算术研究》(1801)为其开端的.在高斯的数论著作中有三个主要思想：同全理论，代数数的引入，型的理论.沿着第一个方向，高斯在19岁时(1796)证明了二次互反律.雅可比证明了三次互反律(1827)，它们又进一步启发人们去探讨更一般的互反律.沿着第二个方向，并且为了解决费尔马大定理，库默尔创立了理想数理论(1844)，并被戴德金进一步发展成为一般的代数数论.沿着第三个方向，古老的不定分析（丢番图分析）获得了全新的进展.最后，由于狄利克雷、契比雪夫、黎曼等人的努力，解析方法及成果被引入数论，建立了解析数论，开始了数论发展的一个崭新时期.
19世纪初至20年代，高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶相互独立地创立了非欧几何（双曲几何），带来了几何学乃至整个数学中一场影响深远的革命.这是从希腊时代就开始的试证欧几里得平行公设的长达2000年努力的一个出人意料的结果.历史上对此做过探讨的著名数学家不胜枚举，包括托勒密、普罗克鲁、纳速·拉丁、瓦里斯、勒让德、萨开里等，积累了大量研究材料，但始终未能彻底解决这一问题.兰纳特、史外卡特和陶里努斯的工作已在本质上接近于非欧几何.但是他们都没有认识到关键的一点：几何等的物质真理性不能以先验理由来保证，欧氏几何因而不是物质空间所必然有的几何.高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶正是基于这一点做出他们的工作的.其中，罗巴切夫斯基为传播与发展非欧几何贡献了毕生的精力.非欧几何的创立，迫使数学家们从根本上改变对数学性质以及它的物质世界的关系的理解，并引出数学基础的许多问题.
几何学的另一个重大进展是射影几何的复兴，这是由蒙日及其学生们的工作所推动，始于卡诺而由彭塞莱于1822年完成的，其核心是三个观念：透视的图形、连续性原理、圆锥曲线的极点与极线.其后，史坦纳、查斯勒斯、史陶特先后推进了这一领域的发展.与此大致同时，微分几何由高斯和黎曼大大地推进了，高斯研究了曲面的曲率，给出了高斯特征方程，并研究了曲面上的测地线以及两个曲面的保角映射问题.1854年黎曼著名的就职演说《关于作为几何学基础的假设》不仅是高斯微分几何的推广，而且重新考虑了研究空间的整个途径，标志着19世纪的重大创造之一——黎曼几何的诞生.
1872年，以19世纪几何学与群论的发展为基础，克莱因发表了著名的“爱尔朗根纲领”，以变换群的观点对几何学进行了统一的分类.1899年，希尔伯特在《几何基础》一书中使用现代公理化对欧氏几何进行了彻底重建，从而开始了一般的公理系统的研究.
到19世纪末，由于无理数论、集合论以及用公理化的思想探讨各种几何学等方面的研究，数学中公理化的趋向逐渐增长，同时围绕对数学基础的讨论，形成了不同的学派，对20世纪数学的发展产生了深远的影响.