BCI，BCK代数的扩张与分类

---

设X是一个BCI－代数，所谓作X的一个扩张，是找一个BCI－代数Y，使得X成为Y的真子代数，或者X同构于Y的一个真子代数。

类似可定义BCK－代数的扩张。对X与Y之间的关系加不同的限制或要求，就可以得到X的许多不同的扩张方式。

扩张理论的意义主要有两个方面。

一是用来解决分类问题，即确定所有互不同构的代数类；二是用来解决构造问题，即找出高阶的复杂的代数与低阶的简单的代数之间的联系。

自日本数学家K．Iséki20世纪60年代提出BCK与BCI代数的概念之后，BCK代数首先有了较多的研究。在扩张理论方面也是这样。

BCK代数的第1种扩张方法是1975年Iséki提出来的，1980年，Yutani把这种扩张称为Iséki扩张，设X=〈X；*，O〉是BCK－代数，元素，Iséki扩张是把u添加到X中使X^′=XU｛u｝成为BCK－代数，而u成为X′的单位元(即最大元)。BCK代数的第2种扩张方法是Iséki1976年提出来的，称为BCK－代数的不相交并，对一族BCK－代数也可以定义不相交并。

1976年Iséki和Tanaka还定义了BCK－代数的直积。1980年Iséki和Yutani定义了BCK－代数的两种有序并，这些都是BCK－代数的不同的扩张方法。

有关BCI－代数的扩张理论的最初工作也是由Iséki进行的。1980年他提出从一个BCK－代数出发用“镶边”法构造一个真BCI－代数的方法，从而首次证明真BCI－代数的存在性。

同时他提出BCI－代数的直积。在作并代数方面迄今为止最好的结果是在1984年由西北大学的学生李欣得到的，目前文献中称之为李欣并。这种方法是作一个BCK－代数和一个BCI代数的并代数从而得到一个新的BCI－代数。李欣并方法是一种十分有用的方法，它还包括Iséki的“镶边”法以及其他人的一些扩张方法作为其特例。

两个BCK－代数的李欣并仍是BCK－代数。所以李欣并又提供了一种BCK－代数的扩张方法。

BCK－代数扩张方法的最新进展是姜豪在1992年提出的3种新的扩张方法，分别称为添零扩张、小原子扩张和链扩张。姜豪用自己提出的方法(1990)，借助电子计算机确定了所有阶n≤6的BCK代数。

他给出所有阶n≤6的BCK－代数的完全分类表。1991年沈百英主编的专著给出了6阶单BCK－代数和6阶4型BCK－代数的完全分类表。

其他6阶BCK代数的分类表也已经发表。1988年姜豪决定了所有这样的有限真BCI－代数X，其BCK－部分是B₂(2阶BCK－代数)，而，其中表示2阶循环群Z₂的伴随代数。

1993年姜豪在Math．Japonica上发表了所有阶n≤5的真BCI代数的完全分类表。

目前扩张理论的一个研究方向是解决BCI代数的并代数问题。胡庆平等人在1986年已经证明两个真BCI代数不能作并代数。

故只能象李欣那样考虑一个BCK代数与一个BCI代数的并代数。

现在的问题是设法找出一个BCK代数与一个BCI代数能作并代数的充分必要条件，从而判定是否存在比李欣并更一般的扩张方法，或者存在与李欣并不同的扩张方法。

扩张理论的另一个研究方向是给定BCI代数A与B，确定所有满足下面两个条件的BCI代数：(1)X包含A且A是X的理想。

(2)，这方面的扩张理论形式上类似于群的扩张理论，但实质上是不同的。因为群是有结合性的代数结构而BCI代数是非结合的代数结构。

引入合成列与合成因子等概念后，由上述扩张理论可以推断研究BCI代数的结构归结为研究上述扩张方法与确定单BCI代数的分类。朱怡权完成了真的单BCI代数的分类。

由此可知单BCI代数的分类问题主要是单BCK代数的分类问题。而后者是一个尚未解决的困难问题。

目前最好的结果已确定了所有阶n≤6的单BCK代数。在这种扩张方法的研究迄今为止除了姜豪(1992)中得到的结果以外尚无新的结果发表，可以说进展甚微。

扩张理论与分类问题是BCI与BCK代数中的根本问题，同时也是困难的问题。目前有大量问题有待解决。

这方面的理论突破预计将为BCI与BCK代数的发展带来新的活力，将为这两种代数的实际应用开辟新的途径。

。

【参考文献】：

1 Iseki K. MathSemNotesCKobe Univ),1975,3:1～12

2 Yutani H. ibid, 1980,8:181～186

3 Iseki K , Tanaka S. Math. Japonica.1976,21:351～366

4 Iseki K, Yutani H. Math Sem NotesCKobe Univ) ,1980,8: 307～308

5 Iseki K. ibid. 1980,8:125～130

6 Iseki K. ibid. 1980,8:181 ～186

7 姜豪．杭州大学学报(自然科学版)，1988，15(4)∶388～395

8 Jiang Hao．Kobe J Math，1990，7(1)∶33～46

9 沈百英主编．“双B”代数和计算机逻辑论文集．上海：上海交通大学出版社，1991

10 姜豪．杭州大学学报(自然科学版)，1992．19(1)∶1～9

(杭州大学姜豪副教授撰)