克拉默法则

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克拉默(Cramer)法则 含有n个未知量x₁，x₂，…，xn，n个线性方程的方程组

当其系数行列式不等于零，即

时，则方程组(1)有惟一解，且其解为

其中D_j(j=1，2，…，n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的自由项代替后所得到的n阶行列式，即

定理 若线性方程组(1)无解或有两个以上不同的解，则它们的系数行列式必为零，即D=0(克拉默法则的逆否定理)．

推论1 方程组(1)对应的齐次线性方程组

必有零解，即x₁=x₂=…=x_n=0必是方程组(2)的解．若其系数行列式D≠0，则齐次线性方程组没有非零解(只有零解)．

推论2 齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必等于零．

注 推论1和2说明行列式D≠0是线性齐次方程组只有零解的充分条件，其实也是必要条件．行列式D=0是齐次方程组有非零解的必要条件，其实这个条件也是充分的(见第4章)．