递兼数理

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一卷。

清汪莱(详见《衡斋算学》)撰。《递兼数理》是讨论组合的专著，全文约一千七百字，并附图六幅。该书列于《衡斋算学》第四册后，写作年代不详，据《衡斋算学》按年编排推算当为1799年所作。该书首先解释组合：“设如有物各种。自一物各立一数起，至诸物合并共为一数止，其间递以二物相兼为一数，交错以辨得若干数，……四物、五物以至多物莫不皆然，此谓递兼之数也。”然后分别讨论“总数”和“分数”两种组合的计算。递兼总数即逐次组合的和，递兼分数则为构成递兼总数各次的组合数。汪莱作了大量的组合运算归纳出了递兼总数的求法，并给出了组合的一个性质：“中数以后，即同于前，不烦复算”，即与中间项等距的前后两项相等；他还给出了中间项序号的判别方法。对递兼分数的计算公式他给出了推导过程。

从10个不同元素中，每次取1，2，…的组合图形表示，汪莱称“十物递兼分数图解”，该图与三角垛图相同，但它有确定的组合意义。汪莱的贡献是把组合作为一个数学问题详加讨论得出一般的结果，并建立了组合与垛积之间的联系，推广了贾宪三角形的应用，这在中算史上是空前的。1984年李兆华深入研究了该书，发表《汪莱〈递兼数理〉、〈参两算经)略论》，(载《中国数学史论文集(二)》)该书版本同《衡斋算学》，在李兆华论文后面附录了该书原文。