联合逼近

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由单点逼近发展到联合逼近最初是由f及导数f^′同时逼近引起，然后C，L^p等空间有限个或一列函数F=｛_Fn｝被逼近，有sup联合与∑联合两大类，、。

每种又有弱形，比如换为。20世纪60～70年代顺利解决了F=｛f₁，f₂｝或有限个情形，化为单个函数被逼近为主，如J．Diaz、Mclaughlin、G．Phillips、Sahney、Holland、史应光、王美琴、王建忠、徐士英、McGabe、W．Ling等人均有建树。例如Ling解决了化为单点逼近，指出当，则σ′=2e，且联合佳逼元(b．s，a．)唯一，当则σ′=‖f₂－f₁‖，非唯一。

放眼到赋范空间中，则基本的问题是一个有界集F被G联合逼近，元g₀的全体记Z_G(F)。

特别G是全空间，记为r(F)，Z(F)，即F的车贝半径与车贝中心集。联系1962年Garkavi的首创工作，b．s．a．的存在性与唯一性研究者颇多。

F设为紧集或一般有界集区别很大。T．Narang1983引用F对G可远距性是介乎中间的F条件。

获知(R_x)∩(R)空间中，F紧，G闭凸，则b．s．a．唯一存在。

1976年E．Rozemap．Smith由一个引理推出当F对G可远距，G是自反子空间，则b．s．a．唯一存在。X自反，G闭凸，F有界则推b．s．a．存在。X严凸，G凸，F对G可远距则推b．s．a．唯一。

潘文熙已引入一种强化近紧性(叫工类近紧)，是指对任何相对于G可远距的F，当则存在子g_ni→g∈G。他证实(R_x)∩(H)空间中G闭凸，则G是工类近紧的。当G工类近紧，F对G，可远距，则b．s．a．存在。

1979年J．Mach研究存在性时创立一崭新概念：(X，G)具(P₁)性(G是X中闭子集)，乃指＞0，ε＞0，及h(x，y)，x，y，h∈G，‖h－x‖＜ε，当｜θ｜＜δ则。

若h(x．y)连续时，叫(P₂)性。(P₁)性保证对凡有界集F，b．s．a．存在，(P₂)对Z_G(F)映射连续性起作用，1980年Mach再度引入(Q₁)，(Q₂)性(按他原作叫P₁，P₂性实，与前者不能混同)是对(G，B)，B是某些有界集F之类而言，1991年A．Chiacchio和J．Prolla引入(G，B)具(A)性概念，亦保证b．s．a．存在，特别B是任何单点集之类时，转化为Yost性。

(A)性对研究C_b(S．G)中b．s．a．有重要作用。

对于b．s．a．的本性及属性，单点逼近的著名Kolmogorov条件移植到紧集F情形联逼是成立的。

而使用了极大泛函集这里。潘国权、郭元明都指出由K．氏条件必要性需要引出联合太阳集概念产生，它比单点逼近的太阳集严格，但比凸性弱。

郭氏证明严凸空间中对F紧，G是联合太阳集，则b．s．a．只≤1个，此外引入范数“于F处”弱导数，则为b．s．a．又一本征条件乃τ(F－g₀，g₀－g)≥0，这里F紧，G凸。又一本征乃任g∈G，及x∈F有ψ(x－g)≥ψx－g₀≥r_g0(F)(Amir－Mach判别法)。

特别当G是n维子空间，又化为，…ψ_n∈extS_F－g0及x₀，…，x_n∈F，，使ψ_i(x_i－y₀)=r_g0(F)，，。对Z_G(F)集的性质，1984年Amir－Mach指出F可“割弃”一个球B(g₀，t)，0≤t≤r_g0(F)以替F不影响g₀佳逼性。而G也可适当割弃或扩伸，像单点逼近那样。关于Z_G(F)、Z(F)集的分布，1964年Garkavi指出希氏空间则任有界集F，Z(F)∩，且反之推空间此性。

1976年Rozema得任闭子空间G，亦表征希氏空间，而且G改用闭凸集却不真。比如选G为球体，F是球外的两点可验知。映射F1→Z_G(F)自Mach记作CentG：2^x→2^G，叫联合度量投影，或叫车贝中心映射。1978年指出X匀凸，则映射单值存在且一致连续。C(S，X)中亦如此。1980年Amir和Ziegler则减弱设X相对于G匀凸亦成立。

A．P．Bosznay1978获知(Rx)∩(LUR)空间中，闭子空间G，则cent_G单值存在且连续。潘文熙获得度量空间中，若G有某种强近紧性，F₀有界，F₀的某Hausdorff度量领域的任意F都使Z_G(F)为单点时，则cent_G于F₀处连续。

这推广了著名的Singer定理，从而一定条件空间中，G闭凸，F对G可远距便可Cent_G连续。潘氏进一步研究(UR)中CentG，连续性获量性公式，找到了局部连续模。

设G闭凸F，F′有界(b．s．a．Z，Z′就存在唯一)则，这里h=h(F，F′)，r=r_G(F′)。特别在希氏空间呈形，Mach的Q₁，Q₂性对centGu．s．c．性等有重要用途。潘氏再考虑了G变动时的连续性G1→ZG(F)，它也是Lip的，且只要h(G，G₁)／r＜2则。这里X匀凸，G闭凸，r₁=r_G1(F)。其他情形右边改成Ah(G，G₁)形，他同时考虑了G_n^↓（∞时‖Z_Gn(F)－Z_G∞(F)‖→0的问题。对Cent_G连续模必将更深化研究。

猜想当CentG具一定的收缩Lip性会导致X是内积空间这一类Hirschfeld型命题迟早会发现。CentG的连续选问题也必然将开展研究。

联合强唯一性已初步有研究。潘－郭开始考虑m(F－g)－m(F－g₀)≥μ‖g－g₀‖，，这时g₀叫联合强佳逼元(s．b．s．a．)，μ叫强唯一常数。

若F紧G闭凸，已证明sup｛Ref(g₀－g)：f∈extS_F－g0｝≥K‖g－g₀‖导致g₀是s．b．s．a．找到此式的种种等价条件，这推广了单点逼近时P．F．Mah(1984)所讨论的各条件。又μ=μ(F)有一种u．s．c．性。

联合拟强唯一性m^p(F－g)－m^p(F－g₀)≥μ_p‖g－g0‖^p。人们注意到Smarzewski(1986，1988)就单点逼近对L^p(μ)已有完善结果。

当p≥2求得郭元明对联合逼近分别G闭凸集，闭子空间时获得与，结果相当完美。

求联合佳逼点概念可扩张到求最佳N网，军事上为布置炮台群问题，达到左方那个inf的｛｝叫最佳N网。N=1回复b．s．a．这是1962Garkavi最早引入的。他指出G紧，或者共轭B空间中G是W*闭集，则凡有界集F，最佳N网存在。当G是子空间，涉及G* *到G有范数1投影性等也保证存在性。

潘文熙剖析γ^N=0的条件及深入讨论最佳N网存在性。对两集最近距离，潘氏系统讨论最近点对ρ(x₀，y₀)=ρ(F，G)存在性及唯一性，以及近渡点x₀，P(x₀，F)=P(F，G)性质及叠映射P_FP_G的不动点有关性质。关于最近点对存在性1988年XuXiubin获一些充分条件：F紧弱，G凸，G关于F可近，则最近点对存在。

潘氏获另一些充分条件：(1)F紧，G关于F可近，或(2)F闭囿紧，G关于F可近，且有界，(3)自反，F，G皆弱闭，一个有界。最近点对唯一性方面，引入严凸集，x，，0＜θ＜1，则θx+(1－θ)y∈intG起了重要作用。

潘氏还建立仿射集、超平面、直线种种之间最近距离的命题，又涉及许多带距离性分离定理，大大推进了Mazur的结果，开拓了泛函逼近论的新篇章。

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【参考文献】：

1 Ling W H. Pro AMS, 1975,48:185～188

2 Maeh J.M Ann,1979,24,157～164

3 Narang TD. JAT,1983,39:93～96

4 Amir D. JAT,1984,40:364～374

5 Mah P F. JAT,1984,41:91 ～99

6 潘文熙、郭元明．全国第5届逼近论会议论文集．河南大学学报(增刊)．1988

(暨南大学潘文熙教授撰)

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"联合财产制联合财产制

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指在夫妻各享个人财产所有权的前提下，将双方财产联合起来由夫管理，夫对妻的财产享有占有权、用益权，甚至处分权，其代价是夫应负担婚姻生活费用，当婚姻关系终止时，妻的原有财产由本人收回或由继承人继承的财产管理方式。联合财产制是以管理权为准则的财产制。它的本质在于将妻之财产与夫之财产结合为一经济单位，由夫以其责任管理及为使用收益，在通常管理的范围内，无须经妻子同意而得以处分。现今较少有以联合财产制为法定财产制的国家和地区，以瑞士民法和中国台湾地区“民法”为典型。联合财产可以为结婚时属于夫妻的财产，也可以是婚姻关系存续中夫妻所取得的财产；不仅包含动产及不动产的所有权，而且及于一切有财产价值的权利，无论是附条件的或不附条件的权利，绝对的(如限制物权、专利权、著作权)或相对的(如债权)的权利。但期待权不属于联合财产。联合财产并不以由配偶一方移转给他的配偶为前提，妻子仍拥有原有财产的所有权。