组合数的两个性质

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例 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?

(1)平均分给甲、乙、丙三人；

(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；

(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(4)平均分成三堆(组)；

(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本．

策略 (1)、(2)两题可设想甲、乙、丙三人依次如数取书；(3)则在(2)的基础上甲、乙、丙三个全排列分配，由等几率思想，(4)为(1)的分之一，(5)为(2)的分之一．

解 (1)每人得2本可考虑，甲先在6本书中任取2本，取法有种，再由乙在余下的书中取2本，取法有种，最后由丙取余下的2本书，有种取法，由分步计数原理，所以共有取法数．

答 共有90种取法．

(2)选取方法同(1)，所以共有取法数N=．

答 一共有60种取法．

(3)在(2)中甲得一本，乙得2本，丙得3本的基础上，考虑到甲、乙、丙三人的平等地位，让甲、乙、丙三人全排列调换位置，所以共有取法数：

答 一共有360种选法．

(4)由于三堆的位置并无差别，可在(1)的情况下，取甲、乙、丙相同，所以共有取法数为

答 一共有15种分法．

(5)类似(4)与(1)，考虑本题与(3)，所以共有分法数：

答 一共有60种方法．