线性规划

---

是用来求解具有线性联系的极值问题的一种专门方法。亦即是对一组一次联立方程式的求解。线性规划所研究的问题主要分为两类：(1)如何用最少量的人力、物力去完成确定了的一项任务；(2)如何合理安排一定量的人力、物力，才能发挥最大的效果。这些问题，如果舍去其“个性”，从数学上进行量的分析，就是求函数的极值(最大值或最小值)。一般的线性规划问题，表现为数学形式的约束条件和目标函数。约束条件用来反映实际经济问题有关变量之间相互依存、相互制约的关系，把这些相互依存、相互制约的关系，用一定的方程组来表达，即为约束条件。根据问题的条件，要求达到一定的目标。这里的目标应为在一定条件下可能达到的最优结果。这个目标通过一定函数形式来表现，即为目标函数。线性规划模型的这两个组成部分是密不可分的。通过对问题的求解，能帮助管理人员在有若干约束条件(如材料供应条件、生产技术条件、产品销售条件等等)的情况下，作出最适当的决策。因此，线性规划是一种决策的定量技术。

例：假若某企业生产A、B两种产品，有关数据如下：

产品A 产品B

单位售价 $45 $15

单位变动成本 35 9

单位边际利润 $10 $6

该企业有两个生产部门，部门Ⅰ的生产能力为4，500机器小时，部门Ⅱ的生产能力为7，500机器小时，生产单位产品所需机器小时分别为：

产品A 产品B

部门Ⅰ 4 1

部门Ⅱ 2 3

订货量(件) 1，000 2，500

根据上述条件，应如何合理利用现有生产能力，正确安排A、B两种产品的生产，才能提供最多的边际利润。

解此问题如下：

设x₁为A的产量，x₂为B的产量，S为可提供的边际利润，则：

4X₁+X₂≤4，500

2X₁+3X₂≤7，500

X₁≤1，000

X₂≤2，500

X₁≥0，X₂≥0

此方程组即为问题的约束条件。而

S=10X₁+6X₂

则称为目标函数。

也就是，要求在满足上述约束条件的前提下，求边际利润S的最大值。

由于组成约束条件的方程组中的未知数个数往往多于方程的个数这一重要特点，使得方程组有无穷多个解。这就要求管理人员要从约束条件方程组的无穷多个解中，找出一个使目标函数的数值达到最大(或最小)的最优解。