等角定理的推论

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如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．

例1 如图，E，F分别是长方体A₁B₁C₁D₁—ABCD的棱A₁A，C₁C的中点，求证：四边形B₁EDF是平行四边形．

策略 平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．

证明 设Q是DD₁的中点，连结EQ，QC₁．

∵E是AA₁的中点，

∴．

又在矩形A₁B₁C₁D₁中，

∴(平行公理)，

∴四边形EQC₁B₁为平行四边形，

∴．

又∵Q、F是矩形DD₁C₁C的两边中点，

∴，

∴四边形DQC₁F为平行四边形，

∴．

又∵，∴，

∴四边形B₁EDF为平行四边形．

点评 三线平行公理是我们证明分别在两个平面的两条直线平行的常用工具．

例2 如下图所示，在正方体AC₁中，M、M₁分别是AD、A₁D₁的中点．

求证：∠BMC=∠B₁M₁C₁．

策略 证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法，另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．

解法一 连M₁M，M₁、M分别是A₁D₁和AD的中点四边形AMM₁A₁为平行四边形 四边形BB₁M₁M为平行四边形

解法二 同上可让四边形M₁B₁BM为平≌△MCB