直线方程的几种形式

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1．点斜式 若直线l的斜率是k，并且经过点P₁(x₁，y₁)，则它的方程是y—y₁=k(x—x₁)．

【说明】当直线l的倾斜角为0°时，它的方程是y=y₁，当直线l的倾斜角为90°时，直线l没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程是x=x₁．

2．斜截式 若直线l的斜率是k，与y轴的交点是(0，b)(b称为直线l在y轴上的截距)，则它的方程是y=kx+b．

3．两点式 若直线l经过两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)(x₁≠x₂，y₁≠y₂)，则它的方程是．

4．截距式 若直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，则它的方程是．

5．一般式 因为直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程，关于x和y的一次方程都表示一条直线，所以，我们把方程Ax+By+C=0(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．

例1 已知直线l经过P(2，1)且它的倾斜角为已知直线l′∶3x—4y—17=0的倾斜角的1/2，求l的方程．

解 设直线l′的倾斜角为α，则直线l的倾斜角为．

故所求直线方程为：

x—3y+1=0．

例2 经过点A(1，2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有( )．

A．1条 B．2条

C．3条 D．4条

解 设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则|a|=|b|，即a=±b．

若a=b=0，则直线方程为y=kx．

∵直线过A(1，2)，∴k=2，∴直线方程为y=2x．

若a=b，则a=b=3，

∴直线方程为x+y—3=0；

若a=—b，则a=—1，b=1，

∴直线方程为x—y+1=0．

∴满足条件的直线有3条，故选C．

点评 本题引起分类讨论的因素有两个方面：一是直线是否过原点；二是|a|=|b|，则a=±b．容易漏解的原因是忽视直线过原点的情况．

例3 求经过两点A(2，1)和B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率，并求出其倾斜角α及其取值范围．

解 ∵当m=2时，x₁=x₂=2，

∴直线l垂直于x轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角．

例4 当a为任意实数时，直线(a—1)x—y+2a+1=0恒过定点，试确定这个定点．

解 设直线恒过定点(x₀，y₀)，则(a1)x₀—y₀+2a+1=0．

∵a(x₀+2)+(—x₀—y₀+1)=0对一切a∈R都成立，

∴x₀+2=0，—x₀—y₀+1=0，

∴x₀=—2，y₀=3，即定点为(—2，3)．

点评 所谓恒过定点，即与方程中a的取值无关，恒过定点的问题是直线方程中的重点题型．