整体牛顿法

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牛顿方法是解方程的一种经典的迭代方法。

在求解一元方程f(x)=0的情形，牛顿迭代公式是x_n+1=x_n－[f′(x_n)]^－1f(x_n)，其中x_n是已经知道的f(x)=0的近似解，f(x_n)和f′(x_n)分别是函数f(x)和导函数f′(x)在x_n的值，x_n+1是f(x)=0的进一步的近似解。在n个自变量n个方程的多元情形，利用向量表示，方程仍可写成f(x)=0，牛顿迭代可以表示成

x_n+1=x_n－[Df(x_n)]^－1f(x_n)， (*)

其中x_n+1，x_n都是向量，f(x)是向量函数，[Df(x_n)]^－1是f(x)在x_n的雅可比矩阵的逆矩阵。

牛顿方法是局部收敛的迭代方法。

如果初始值x₀已离f(x)=0的某个解不远，牛顿迭代x₀，x₁，…，会很快收敛到这个解。

如果初始值选得不好，迭代就收敛得很慢，甚至根本不收敛。

在经济均衡理论的动力系统方法研究中，斯梅尔(S．Smale)提出从价格向量空间边界上的正则值出发，跟踪超需向量场的积分轨线来寻求均衡价格向量的方法。

当采用欧拉(Euler)方法跟踪曲线时，迭代公式仍然具有(*)的形式。根据微分拓扑学中的萨德定理(Sard’stheorem)，边界上几乎每点都是正则值。

这样，从边界上几乎每一点出发，向量场(微分方程组)的积分轨道都导向问题的解。所以，这种方法是整体收敛的，称为整体牛顿法。

整体牛顿法也是应用数学其他领域的新的计算方法。