推广

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如果a₁，a₂，…，a_n∈R⁺，且n>1，则((当且仅当a₁=a₂=…=a_n时取“=”号)．

例1 已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )．

分析 本题考查了圆锥与圆柱的基本计算，同时考查了利用均值不等式求最值．

解 如图作圆锥的轴截面图，设内接圆柱的底面半径为x，高为h，则由三角形相似可得：

∴圆柱的全面积为：

S_全=2πxh+2πx²

=2πx·3(R—x)+2πx²

=2πx(3R—2x)

=π·2x(3R—2x) ．

当且仅当2x=3R—2x即x=3/4R时取“=”号，故选B．

评析 本题也可用二次函数求最值

例2 a>b>1，，Q=1/2(1ga+lgb)，，则( )．

A．R

C．Q

分析 本题考查了对数的基本性质及均值不等式的应用．

故R>Q，从而选B．

评析 本题也可用特殊值法来判定，如果a=100，b=10，很容易选B，解这类题要善于利用特例法求解，利用均值不等式和函数单调性比较大小是常用的方法．

例3 设x、y、z为正数，x²+y²+z²=1，试求的最小值．

解 若a、b、c∈R⁺，则由平均值不等式可知：a²+b²+c²≥ab+bc+ca∴(a+b+c)²≥3(ab+bc+ca)，

当且仅当x=y=z时取得最小值．