高斯消去法

 指解线性方程组的一般方法。它使线性方程组的求解问题得以彻底解决，并由于有明确的程序，因而是使用电子计算机解线性方程组常用的一种方法。
 运用高斯消去法的基本要求是：①明确高斯消去法的思想是顺序消元。②懂得线性方程组的初等变换(交换两个方程的位置；用一个非零数乘以某一方程的两边；把一个方程的两边乘以同一个数，再分别加到另一个方程的两边上去)均为同解变换。③熟练掌握解n个未知量、m个方程的线性方程组的一般步骤，明确关键是施行初等变换，把方程组化为阶梯形，并能据此对解的情形进行讨论：在最后一个含有非零系数(包括常数项)的方程中，若至少有一个未知数的系数不为零，则方程组有解，否则无解。在有解时，若未知量的个数等于阶梯形方程组中方程的个数，则有唯一解；未知量的个数多于方程的个数，则有无穷多解。还要能熟练求出一般解：把每个方程中第一个有非零系数的项留在方程左边，其余未知量移到方程右边，作为自由未知量，最后要自下而上逐次代入，求得线性方程组的一般解。④能分离系数，以矩阵为工具，运用高斯消去法：对线性方程组的增广矩阵施行行的初等变换，(相等于线性方程组的初等变换),把它化为阶梯形矩阵(元素全为零的行在下方，非零行中，第一个不为零的元素的列标随着行标的增大而严格增大),此时，非零行的行数即增广矩阵的秩。划去最后一列后，其非零行行数即系数矩阵A的秩。 若秩＝秩A,则线性方程组有解，否则无解。有解时，若秩A=n,则有唯一解；若秩A 需要注意的是：①只能对增广矩阵施行行的初等变换。②要选择尽量简便的初等变换，尽可能避免出现分数，在无法避免时，要使之尽可能迟出现。

高斯消去法gaosi xiaoqufa

解线性方程组的一种重要方法.也称之为消元法.这种方法有比较严格的程序，它分为以下两个步骤
❶顺序消元.
设方程组为

式中a_ij(i,j=1,2，…，n)和c₁,c₂，…，c_n都是已知数，且系数行列式D≠0.
不妨假定a₁₁≠0，先以1/a₁₁乘以第一个方程，把x₁的系数化为1，然后分别乘以-a₂₁,-a₃₁，…，-a_n1加到第2至第n个方程上，消去后n-1个方程中的x₁，将方程组化为

不妨设(2)中a⁽¹⁾₂₂≠0，用同样的方法把第二个方程中x₂的系数化为1，并消去后n-2个方程中的x₂.这样继续下去，最后得到

❷回代求解.
在完成第一个步骤的基础上，按相反顺序逐个消去方程组(3)中的第n-1个方程中的x_n；第n-2个方程中的x_n,x_n-1；…；第一个方程中的x_n,x_n-1…，x₂，得到

这就是方程组的解.
方程组
(1)中未知数的所有系数组成一个系数矩阵.

所有的常数项也组成一个常数项矩阵

把系数矩阵和常数项矩阵合在一起组成一个增广矩阵

只要运用矩阵的初等变换，把方程组的增广矩阵变换为

就可求得方程组(1)的解为

例 解方程组

解 方程组的增广矩阵为

设❶,
❷,
❸分别为矩阵的第一、二、三行.现在对矩阵作初等变换.

所以原方程组的解为