分步计数原理

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做一件事，完成它需分成n个步骤，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法，…，做第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×…×m_n种不同的方法，这就是乘法原理．

例1 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．

(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法?

(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法?

策略 (1)中采取的是“分类”思想；(2)中采取的是“分步”思想．

解 (1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法，由分类计数原理，得到不同的取法的种数是N=m₁+m₂=9．

(2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步在第二个口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是N=m₁×m₂=20．

答 (1)有9种取法；(2)有20种取法．

点评 在用两个原理解决问题时，一定要分清完成这件事，是有n类办法还是需要分成n个步骤，应用分类计数原理时必须要求各类的每一种方法都保证完成这件事，应用分步计数原理则是各步均是完成这件事所必须的独立的步骤．