选择悖论Paradox of Voting

标准的选择理论把效用理论和决策理论结合起来，以明确地表达某种选择标准，在这一标准下，经济行为人可从竞争的备择方案中作出决策。政治科学领域涉及到的选择又称为 “投票”(voting)。处理投票问题的选择理论就是当前相当流行的社会选择 (social choice) 或公共选择 (public choice)。不过，社会选择理论的起源至少可追溯到200年前的博尔达 (Borda,1781) 和 (孔多塞Condorcet,1785)，但社会选择的正规理论却是近40年前的阿罗 (Arrow,1951) 和布莱克 (Black,1958) 提出的。
社会选择理论试图弄清楚在一定的合乎理性的要求下，人们是否能够以个人选择顺序为基础，推导出社会整体的选择顺序。考虑一个最常见的简单多数规则。假设有3个投票人向A、B、C三个方案投票，其偏好序矩阵如下：

偏好序	投票人			社会的顺序
	1	2	3
1 2 3	A B C	B A C	C B A	B A C

尽管B就第一偏好得票最少，从而在许多投票方式下会落选，但它有强烈的要求成为被选定的方案，因为简单多数规则下B能够击败任何一个竞争者。集体选择顺序很可能是“BPAPC”，其中P表示 “多数优于”。显然，B是非占优的 (Undominated)。
然而，不幸的是多数偏好关系往往不能生成社会选择顺序。一个最简单的例子如下：

偏好序	投票人
	1	2	3
1 2 3	A B C	B C A	C A B

3个投票人向3个备择方案投票。由表列可知，第一个人的偏好序是： “APBPC”，第二个人的偏好序是 “BPCPA”，第三个人的偏好序是 “CPAPB”，应用简单多数规则投票表决，多数人认为A比B更可取 （第一和第二人）; B比C更可取 （第一和第二人）。这样，社会选择顺序似乎是“APBPC”。根据“传递性” 的逻辑一致性要求，必然有A比C更可取的结论。但按多数规则，C比A更可取（第二和第三人）。由此导致了循环的或矛盾的社会选择顺序： APBPCPA。这就是所谓 “选择悖论”，又称为 “投票悖论”、“孔多塞效应”、“阿罗问题”及“循环多数”现象等，它最初由孔多塞发现，随后交替地被遗忘和重新被发现，直到布莱克和阿罗的有关研究成果问世。
既然多数规则在选择时会产生不合理的结果，那么人们自然会去寻求其他的选择规则。比如“博尔达计数”法可使上述悖论消除。博尔达的方法很简单，如果一共有m个备择方案，那么，在每张选票上列为第一的偏好计m分，列为第二偏好的计m-1分，依此类推，得分最多的方案被选定。上例中每个方案的“博尔达数” 都是6，可以推测总体上三个方案无优劣之分，这就避免了 “孔多塞效应”。然而博尔达的方法又会产生一种悖论。考虑到上例基础上增加一个方案，个人的选择顺序矩阵如下：

偏好序	投票人
	1	2	3
1 2 3 4	A B C D	B C D A	C D A B

按“博尔达数”从大到小排列的社会选择顺序是： CPBPAPD。这一选择结果与上例明显不同。可见，博尔达计数法完全依赖备择方案的数目，因而与人类理性选择的要求存在明显的冲突。
各种选择规则的存在伴随着相应的悖论。换句话说，人们追求公平和平等的社会规则，同时又会创造出新的不公平、不平等。