质数个数为无穷zhishu geshu wei wuqiong

在欧几里得时代已经知道质数个数为无穷多个.并且他本人给出了一个巧妙的证明.他使用了反证法：假定正整数中只有有限个质数，它们是p₁p₂，…，pk，令q=p₁p₂…pk+1，则q>1，因此q至少有一个质因数.但任何一个p_i(i=1,2，…，k)都不能整除q.假若不然.由p_i|q及p_i|p₁p₂…p_k，可以得到p_i|q-p₁p₂…p_k，即p_i|1.这是不可能的.故任何pi都不能整除q.这说明q有一个不同于p₁,p₂，…，p_k的质因数，这与p₁,p₂，…p_k是全体质数的假定矛盾，所以质数有无穷多个.