衡斋算学

 吾宗先生衡斋曩著《算学》二册，巴君孟嘉既叙而行之。……先生出续著《算学》相授。其第三册补六宗三要之阙，第四册树弧角堆垛之准，第五册释秦九韶、李冶之惑，第六册摘若往呐白尔之瑕。延麟与读之馀，叹为不朽之制，然窃谓秦李二家久著于世，先生独加訾议，毋乃启学人好辩之疑乎？先生曰：“吾语女。夫李氏《测圆海镜》边股第五问圆城求径，则二百四十步与五百七十六步两数所共，而偏以二百四十为答；秦氏《数学九章》田域第二题“尖田求积”,则二百四十步与八百四十步两形所同也，而专以八百四十为答，若斯之类，不一而足，皆谬误显然，一算可知者，不加示正，何以垂示将来，非故指前人瑕疵重烦辞费也。”延麟伏绎其义，觉先生言皆能发人所未发，知好学之士必乐闻己所未闻，爰付梓人，质诸当世，以俟其证焉。
 

清·汪延麟《衡斋算学叙》(《衡斋算学》)

 【评】此段概述了《衡斋算学》各册，尤其是第五、六册的内容。

衡斋算学

七册。清汪莱 (1768—1813)撰。汪莱字孝婴，号衡斋，安徽歙县人。他自幼家贫，但酷爱学习，年十五，补府学生员，二十岁后，读书于吴县（今苏州）葑门外。在学术上颇受学者江永、戴震影响，他力通经史百家及推步历算之术，著有《衡斋算学》七册，殁后其门人夏燮收集遗稿刻成《衡斋遗书》九卷即：《覆载通几》、《参两算经》、《乐律逢源》、《考定磬氏倨句令鼓旁线中悬而悬居线右解》、《校正九章算术及戴氏订讹》、《今有录》各一卷和 《衡斋文集》三卷。1796年汪莱为演推五大行星“伏见”问题著《弧三角形》，即《衡斋算学》第一册，他在此册中系统讨论了球面三角形有无解的条件。对任意球面三角形，已知两边及一角或两角一边的求解，各列出了二十六种情形讨论；对球面直角三角形，讨论了九种有解的情形并给出了具体解法。第二册撰于1798年，论勾股形，讨论了已知勾股相乘积与勾弦和常有二解的情况。1798年秋第三册完成，专论已知一弧的通弦求五分之一弧的通弦。1799年撰第四册讨论球面三角形只有一解的条件，共得定理四十条，他说： “弧三角之算，穷形困难，设形亦难”。对于已知球面斜三角形边角六元素中任意三个，求其余元素，他分六种情形讨论：已知三边，已知三角，已知二角及夹边，已知二边及夹角，已知两边及对角，已知两角及对边。汪莱在第一、四册中对球面三角形有无解所作的系统讨论，对这一领域的发展作出了贡献。1801年汪莱去扬州馆秦恩复家，研究了秦九韶正负开方术和冶的天元术，撰第五册专论解代数方程。他列举了二十四个二次方程和七十二个三次方程的例子，讨论其正根的数目，得出二次方程可能有一或两个正根，三次方程可能有一——三个正根，与方程各项系数正负号之间的关系。无正根则不予讨论。他认为只有一个正根的方程，其根的数值是确定的，是“可知”的；多于一个正根方程的答数不唯一，是“不可知”的。而秦的《数书九章》和李冶《测圆海镜》中对高次方程不加分析的取某一根数为答数是片面的。他还发现了三次方程的根与系数的关系。1801年，汪莱将第五册寄给焦循，焦与李锐共同审核，李锐将汪的结果推广到了高次方程，得出三条结论。同年汪莱又撰论已知一弧的通弦求其三分之一弧的通弦，连同李锐《第五册算书跋》，自己对李锐三条的意见和焦循《第五册算术记》合刻为第六册。1805年撰第七册进一步钻研代数方程论，阐明：如果高次方程可以分解为几个低次方程，则这几个低次方程的正根即是该高次方程的正根。这在当时中算方程理论的研究上还是创见。值得指出的是，第四册中《递兼数理》论述的组合数性质与计算公式，在中算史上亦是空前的。汪莱的成果虽晚于西方，但全凭他独立钻研，不为宋元名家结论束缚，开辟了清代方程论研究的新方向。该书二卷本有1798年巴树珏刊首卷本；六卷本有1801年汪延麟刊六卷本，1897年贵池刘世珩《继庵丛刻》红印本；《衡斋算学》七卷本有1854年夏燮鄱阳县署刊本，1834年《遗书合刻》本，1892年汪廷栋重刊《算学遗书合刻本》，《嘉树堂六九书榭》刊本，《聚学轩丛书》 本。