自然数ziranshu

指人类在早期的生产和生活中所自然产生的，用以计量物品个数的数1,2,3,4,5，…等等.在严格的数学理论中，有两种构造自然数集N的理论，一种是序数理论，一种是基数理论.
序数理论是把自然数集N看作是满足下述的皮亚诺公理系统的集合N:存在一个集合N到集合N的映射叫做“后继映射”，若x在这个映射下的象为x′，则把x′叫做x的后继者（或后继数），而把x叫做x′的先行者.这个映射应满足下列各条件：
❶N中存在一个元素，记为“1”，它不是N中任何元素的后继者；

❷N中的每个元素有且仅有一个后继者；

❸N中每个元素至多是一个元素的后继者；

❹（归纳公理）设M⊆N，若M满足以下条件：其-,1∈M；其二，x∈M⇒x′∈M；则M=N.
满足皮亚诺公理系统的集合叫做自然数集或者自然数系，集合N的元素叫做自然数.
基数理论是把自然数看成是有限集的基数，即元素的个数.在定义了加、乘运算和大小关系之后可以证明，按基数理论建立的自然数集与按序数理论建立的自然数集是同构的，可以把它们看成是相同的.

自然数ziranshu

自然数是用以表示个数的数目。它是在人类历史的最初阶段，由于计数的需要而产生的。首先有1，以后逐次加1，得到2,3,4,5……，这些数统称为自然数，自然数是整数的一部分，即正整数。自然数可以用来表示物体的多少，可以编号，也可以用来表示集合中元素的多少。它有以下三个性质：
❶有序性：对任意两个自然数，可以比较它们的大小；
❷在自然数集中，有最小数1，但无最大数；
❸在数轴上，每相邻两个自然数之间有一段空隙，所以自然数集是离散的。

自然数Ziranshu

自然数的产生 自然数起源于数(shu)，是由于计数(shu)物体的需要，经过很长的历史阶段，逐渐产生的。远古时代，人类在采集果实和狩猎的劳动中需要分配劳动工具和劳动果实，逐渐形成了 “多”、“少”或“相等”的概念。随着生产的发展，人们需要对各种物体进行数量的比较，在反复实践的过程中，人们逐渐认识到有许多物体集合中的元素可以一一对应，例如，一个人的双手、双脚与一只羊的双角都是同样多的，这就是数学中的等价集合的概念。人们在长期的实践中逐步地从具体的事物中抽象出来， 认识到可以把许多同样多的物体集合归为一类， 并从中选出一个最为方便又不易变动的集合作为代表， 来表示这类等价集合的共同特征，这就开始形成了数的概念。例如，用五个手指来代表具有五个元素的所有等价集合：五匹马，五只羊，五把石斧等等。随着语言文字的出现与发展，人们进 一步创造出文字符号取代个别的特殊的具体集合，以表示一类等价集合的共同特征，这就是数。这些抽象出来的数最初只是用于计数物体的个数， 即一、二， 三， 四， 五， ……这些数， 我们称为自然数。
自然数的基数定义 自然数是一切等价有限集合的共同特征的标记。这样， 自然数表示了数量的意义， 即被数(shu)的物体有“多少个”。例如， 一个班有42个学生。这个“42”就是基数， 它表示这个班学生的个数。在数学上，如果两个集合等价，也就是说在这两个集合之间可以建立一个一一对应， 那么就说这两个集合有同样的基数。
自然数的序数定义 自然数的另一意义是表示次序，即最后被数到的物体是排列中的“第几个”。这种用来表示事物次序的自然数称为序数。序数理论用公理化的方式来定义自然数。序数理论所采用的公理，最初是由意大利数学家皮亚诺(Peano,1858—1932)提出的， 简称皮亚诺公理，包括以下五条：
❶ “1”是自然数；
❷“1”不是任何自然数的后继数；
❸每一个自然数a都只有一个后继数a';
❹如果自然数a与b的后继数相等， 即a'=b', 那么a=b。
❺ （归纳公理）
任意关于自然数的命题，如果它对自然数1是对的，而且当它对自然数n是对的时，它对n'也是对的，那么这个命题对所有自然数都是对的。这样， 在自然数集中，1的后继数是2,2的后继数是3，如此下去，得到1, 2,3,4, 5, ……把自然数按照后继所确定的关系排列起来。

自然数

natural number