考数根法

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中国在素数论方面最早的著作。亦名《考数根四法》。清李善兰撰。发表于1872年。“数根”即素数。考数根法即判别一个正整数为素数的方法。李善兰在该书中提出四种判定素数的方法，即：“屡乘求一考数根法”、“天元求一考数根法”、“小回环考数根法”和 “准根分级考数根法”。同时独立证明了著名的费马(P. de Fermat,1601—1665)素数定理。并指出它的逆命题不真。该书是李善兰在数学研究方面的三项成就之一——素数论的主要著作。

考数根法

一卷。清李善兰 (详见《方圆阐幽》)撰。李善兰在翻译《几何原本》第匕卷时将素数译作“数根”，《考数根法》为素数专论，全文共二千三百五十字，正文七百七十九字，是我国第一篇关于素数的研究论文。李善兰指出：“任举一数，欲辨是否数根，古无法焉”，他精思沉久，得出四个素数判定定理：“屡乘求一考数根法”，“天元求一考数根法”，“小回环考数根法”和“准根分级考数根法”。四法要点是：对于已知的自然数N （本数），必能找到一个最小指数d，使ad-1能被N整除。李善兰取a （用数）为2或3，然后去确定d，在此基础上判定N是否为素数。判别N为素数的条件是： 如果ad-1能被N整除，而N是一个素数，那么N-1必能被d整除。但d能除尽N-1，仅是N为素数的必要条件而不是充分条件。李善兰在此基础上进一步得出： 如果N不是素数而d也能整除N-1，那么N的因数必具有kp+1的形式，其中p是能除尽d的数，k为自然数。这样李善兰证明了著名的费马小定理，并指出其逆命题不真。尽管晚于费马二百年得此结果。但李善兰却是独立获得的。《考数根法》版本有：《中西闻见录》第二期，1872年8月印本，现藏北京图书馆；《湘学报》1902年，《中西算学九种》之四，现藏浙江图书馆； 1902年《西学新政丛书》本《算数名义释例》之内。