综合评判法zonghe pingpan fa

最近几年我国的数学工作者和教育工作者把模糊数学应用于教育评价而形成的一种方法，其数学模型是：
❶评价因素集合：U={u₁,u₂，…un}，其中u₁,u₂，…un，表示评价对象的n个因素。

❷评语集合：V={v₁,v₂，…vm}，其中v₁,v₂，…v_m表示m个评价等级。

❸权数分配集合：A=(a₁,a₂，…a_n)，其中a₁,a₂，…a_n表示n个评价因素在总体评价中所占的权重。

❹单因素评价集合：Ri=(r_i1,r_i2，…r_im)其中r_ij表示对第i个评价因素，被评价属于第j个等级的隶属度。

❺模糊关系矩阵R

❻模糊综合评判：B=A·R, “·”为模糊算子，B=(b₁,b₂，……b_j……b_m)，其中b_j表示评价对象从总体上被评为第j等级的隶属度，设b_i是m个b中的最大者，根据最大隶属原则，综合评判的结果是评为第i等级。
例：对物理教师授课质量的综合评判。评价因素集合是物理教师授课质量评价指标中的8个因素U=(u₁,u₂,u₃,u₄,u₅,u₆,u₇,u₈)，评语等级为好，一般，差。 则评语集合为V=(v₁,v₂,v₃)。 邀请有关人员参加评议，设其人数为N，首先每人发一张评价表。课堂教学质量评价见下表。

学校	教研室	职称	课程名称题目		讲课（实验）时数
项 目			序 号	同意哪种意见即在该项 空格内计“√”
				好	一般	差
教学目的确切实际			1
使学生积极参与教学			2
重视学生能力培养			3
重点突出难点准确			4
教学方法生动有效			5
注重概念规律教学			6
不忽视系统知识传授			7
语言表达流畅简洁			8

评价者根据听课情况对每项评价因素打个等级，一项因素只能给一个等级，不能同时给两个以上的等级。这样统计N个评委的评价情况可以得到单因素评价集合，如对u1因素的单因素评判，若N个评委中有m个人给“好”的评语，则r1,1=m/N；给“一般”评语的人数为p，则r1,2=p/N；给“差”评语的人数为s，则r1,3=s/N。统计每个因素在每个等级评语上的频数，就可以得到每个因素的单因素评判集合。 如：

R₁＝(0.7, 0.2, 0.1)R₂＝(0.6, 0.3, 0.1)R₃＝(0.5, 0.3, 0.2)R₄＝(0.6, 0.2, 0.2)R₅＝(0.3, 0.5, 0.2)R₆＝(0.6, 0.3, 0.1)R₇＝(0.4, 0.3, 0.3)R₈＝(0.6, 0.3, 0.1)

单因素评判集合是一个模糊集合，它可以表示一个模糊概念，对R1来说就是表示被评价教师在“教学目的确切实际”这一因素上，并不绝对地处于某一个等级，而是70%处于“好”，20%处于“。一般”，10%处于“差”。从单因素评判上可以反映出教师讲课的特色，教师可以从中看出在哪些因素上做得较好，哪些因素上还存在不足，为改进教学提供了信息。对于单因素评判，可以将等级划分得更详细些，或给出每个因素的百分分数。但一般说来各评委所给的分数是不同的，为合理地集中意见，将单因素评判集合按顺序排列，就得到一个8行3列的模糊关系矩阵露，它表示各评价因素与各评价等级之间的模糊关系。由于各评价因素在总体评价中所占的地位不同，可经评委集体讨论，对每项评价因素对总体评价的重要性分别规定一个权重。得A=(0.15,0.09,0.1,0.2,0.1,0.2,0.1,0.06)其中a_i满
进行模糊综合评判A·R=B
即B=(0.15,0.09,0.1,0.2,0.1,0.2,0.1,0.06)
与普通矩阵乘法^*不同，模糊矩阵乘法的规则是将原矩阵乘法中的两数相乘改为两个数取小，记为x∧y=x(xx)。以A乘R的第一列为例
b₁＝(0.15∧0.7)∨(0.09∧0.6)∨(0.1∧0.5)∨(0.2∧0.6)∨(0.1∧0.3)∨(0.2∧0.6)∨(0.1∧0.4)∨(0.06∧0.6)=0.15∨0.09∨0.1 ∨ 0.2∨ 0.1 ∨ 0.2 ∨ 0.1 ∨0.06=0.2同理可得b₂＝0.2,b₃＝0.2，则B=(0.2,0.2,0.2)综合评判没有得出结果，在“好，一般，差”三个等级上，隶属度完全相同。这是因为当评价因素较多时，权重A中的每一个权数很小，在与R做乘法时将R中的信息几乎全部丢失掉了。(^*注：普通矩阵法则比较简便，但有时会丢失信息，如果条件允许，可采用这个。)对于评价因素较少的情况一级综合评判一般是可以得到结果的。
现在用二级综合评判的方法来解决上面的问题。将上面的8个评价因素根据内容相近的程度分成4组，U_i(i=1,2,3,4)对每组中的因素经过讨论给出一级评判的权重A′_l将一组中相应的单因素评判集合按顺序排列，组成该组的模糊关系矩阵R^′i，然后对每组分别进行一级综合评判，每组得到一个一级综合评判结果L_i，将L_i按顺序排列得到一个二级综合评判的模糊关系矩阵R，将4组因素U_i视为二级综合评判的4个因素，经讨论分别给4个因素一个二级评判的权数，A=(a₁,a₂,a₃,a₄)，做二级综合评判B=A·R，做法如表：

一级综合评判

二级综合评判

类似地有L2=(0.6,0.3,0.2),L₃＝(0.3.0.5,0.2),L₄＝(0.6,0.3,0.3),B=A·R。0.235)评价结果为“好”的隶属度为0.53，“一般”的隶属度为0.235，“差”的隶属度为0.235。按最大隶属原则评价结果膀为“好”。但考虑到评价在其它等级上也有分布，采用加权求和的方法考虑这些因素，定义p=(95,75,55)，即“好”为95分，“一般”为75分，“差”为55分。加权求和B’=E’·p，这里为一般矩阵乘法。

运用数学模型进行综合评判，使由于个人主观因素的影响，意见比较分散的评价按一定的逻辑程序统一起来。但综合评判也存在主观因素的成份，主要表现在权重的确定就是主观的，不过这里的权重是由集体确定的，与过去那种主观因素的影响有本质上的区别。其次在单因素评价时。由于评价等级是不连续的，本来某 一因素在量的方面是模糊的，但要求评价者只能取一种态度。综合评判法虽然没有从根本上排除主观因素的影响，但它做到了把主观因素控制到较小的限度，是主观与客观统一的产物，并不失为一种比较全面，比较客观的评价方法。综合评判的数学模型的应用是广泛的，不仅限于对课堂教学的评价，在教学改革的实验研究中，在对学生能力的分析评价中，以及在其它需要集中意见的教学决策中都可以应用。