经济计量学模型econometric model

运用经济计量学理论和方法，反映经济系统各种变量相互关系的随机性代数模型。有时也称计量经济学模型。经济计量学是根据客观事实和经济理论，以数学和统计学方法为手段，研究经济关系和经济活动规律的数量分析方法及其应用的一门经济学科。模型在经济计量学研究中有重要作用。设定数学模型、估计模型参数、验证构造模型的理论根据以及运用模型研究经济问题，是经济计量学的核心内容。经济学是社会科学领域中最早应用数学的学科。17世纪，英国古典政治经济学创始人配第(WilliamPetty)开始运用数学方法研究经济问题。19世纪，法国经济学家古尔诺(A.A.Cournot)用函数方程表述经济关系，成为数理经济学的奠基人。1926年，挪威经济学家弗里希(R.Frish)仿照生物计量学(biometrics)提出经济计量学(econometrics)。他把数理经济学家运用抽象方法、借助数学公式和几何图形推导出的概念和理论与从现实观测到的数据相结合，转换为经济计量学模型，并用统计方法对模型参量进行估计，使经济计量学成为能对现实经济问题进行定量研究的理论和方法。20世纪30年代，经济计量学主要研究个别生产者和消费者的经济行为。40年代，扩展到宏观经济分析。60年代以后，电子计算机技术的进步，促进了经济计量学的发展和应用。
经济计量学研究的客体是与自然系统有根本区别的社会经济系统。对经济系统的定量分析，要充分考虑： ❶经济过程中有大量随机因素；
❷反映经济关系的数据不可能由控制条件下的实验结果中得出，而只能来自对现实经济生活的观测。
模型结构 经济计量学模型由一个或一组数学方程式构成。方程式中有变量、参数和随机项。变量分为内生变量和外生变量。前者的数值是在模型内决定的， 是模型求解的结果， 属于因变量。后者的数值是在模型之外决定的，不受模型内部因素的影响，亦即在模型求解之前事先决定的，已知的或给定的，属于自变量。外生变量可以区分为政策变量和非政策变量，前者是决策人可以控制的变量（如国家对于农业的投资）, 后者是难以控制或不能控制的变量（如降雨量）。在运用模型研究经济问题时，可以把政策变量看作工具变量， 而把内生变量看作目标变量， 寻求通过调节工具变量达到预定目标变量水平的途径。在考虑时间因素的动态模型中， 还需要把内生变量区分为本期内生变量和滞后内生变量， 把外生变量区分为本期外生变量和滞后外生变量。滞后内生变量的值是由前期决定的，因此，它和外生变量都是在求解本期内生变量之前就已确定了的前定变量。有时，还称本期内生变量为被解释变量，称外生变量和滞后内生变量为解释变量。
参数是说明解释变量对于被解释变量影响程度的数值，反映模型中各方程式的经济结构特性。参数值需要用数理统计方法根据样本数据进行估算。参数值一经确定，即可根据前定变量的数值预测本期内生变量的数值。随机扰动项或称误差项也是经济计量模型中的重要组成部分。在方程式中是否含有随机扰动项是区分经济计量学模型和数理经济学模型的主要标志。将随机扰动项列入有关方程式中的主要原因是：❶观测误差；
❷由于方程式中略去许多次要因素引起的误差；
❸由于社会经济现象固有的不可重复性，形成的随机误差。
按所反映经济关系的性质，经济计量学模型中的方程式，可分为：❶行为方程式；
❷技术方程式；
❸制度（法规）方程式；
❹定义方程式。行为方程式是描述政府、企业或居民经济行为的方程式，可用来表明这些决策单位在其经济活动中对于外界刺激或影响所作出的反应。例如，在研究全国某一时期人均消费C与人均收入Y之间的关系时，可以列出方程式C=β₀+β₂Y+u。式中G、是变量，β₀和β₂是参数，u是随机误差项。该方程式说明人均消费与人均收入的关系，即人均收入每增加一元时，人均消费将增加β₁元。技术方程式是可由科学技术水平确定的物质生产技术关系方程式，用来说明投入的生产要素与产出成果之间的工艺技术关系。最常用的是柯布-道格拉斯生产函数Y=AK^αL^βU。式中Y为总产量，K为资产，L为劳力、A、α、β均为待定参数，A为效益参数或技术状态指标，U为随机扰动因素。上式中的α和β都是正分数，如果α+β=1，则该式为线性齐次方程式。在农业中应用时，可增加土地变量M及相应的待定参数γ，写成Y=AK^αL^βM^γU。制度方程式是依据法律、制度和政策等规定经济变量之间数量关系的方程式。定义方程式是根据经济理论和假设定义的有关经济变量之间关系的方程式或恒等式。例如，Y（国民收入）=C（消费）+I（投资）等。在选取方程数学形式时应考虑：❶力求方程的数学表达与经济理论要求相符；
❷尽量采用简单的形式；
❸与数据有良好的拟合关系。
模型的形式 经济计量学模型采用结构式和简化式两种形式。结构式是反映经济系统内部结构，阐明经济系统各组成部分相互依存关系的数学表达式。它的特点是把内生变量表示为其他本期内生变量、前定变量和随机扰动项的函数。其中包含的参数称为结构参数，表示以它为系数的变量对于被解释内生变量的直接影响，其符号表示影响的方向，数量大小表示影响的程度。根据需要，把若干有关的结构方程式结合成为一个方程组，即可构成经济计量学模型的结构式。一般在线性情况下，经济计量学模型的结构式为：

yΓ+xβ=u (1)

式中 β=(β_ij)_n×n为n×n阶矩阵，表示内生变量结构参数。y为内生变量向量。Γ=(γ_ij)_n×m为n×m阶矩阵，表示前定变量结构参数。x为前定变量向量。u为随机扰动项向量。模型简化式中每个内生变量都表示为前定变量和随机扰动项的函数。因此，简化式的参数不仅能反映前定变量对于内生变量的直接影响，而且也反映间接影响，有助于全面了解政策的影响作用。模型简化式一般是由结构式推导出来的。由于(1)式中矩阵Γ应为可逆矩阵，于是用Γ^-1右乘(1)式，可得

y=-xβΓ^-1+uΓ^-1　(2)

把它简写为

y=xΠ+v　(3)

其中v=uΓ^-1,Π=-βΓ^-1。经济计量学模型的结构式多用于结构分析，简化式多用于政策评价与经济预测。
建立与应用模型的过程 经济计量学模型的建模和应用过程分为建立理论模型、参数估计、假设检验和应用等步骤。
建立理论模型 在这一步骤中要确定模型中应包含的变量；对研究的经济现象进行系统分析，建立各经济变量之间的关系；选定模型的数学形式；拟定模型中参数的理论期望值（包括数值和正负号），使之与经济理论要求相符。通常在模型中仅列入若干最重要的影响因素作为变量，而把其他不太重要的影响因素用随机变量来表达。在选择表达变量关系的数学形式时，一般很难用单一方程描述复杂的经济现象，因此大多数模型都是由若干个相互联系的方程组成的方程组。模型中参数符号应依据经济理论和实际经验确定。例如，假设某商品的需求量Q、该商品的价格P以及消费者可支配收入Y之间可构成下列关系式

Q= β₀+β₁P+β₂Y+u (4)

按经济理论，Q与P应有相反符号，Q与Y应有相同符号，即β₁应为负值，β₃应为正值。
参数估计 经济变量的总体参数一般是未知的，需要估计。在建立理论模型并按照模型变量要求搜集到完整、准确的数据以后，即可对参数进行估计。估计的目的是根据样本信息求出未知总体的参数数值。为此应选择具有较好估计值性质的估计式，而在选择估计式之前需要解决好异方差性、序列相关和多重共线性等问题，并对模型进行识别。
假设经济计量学模型中被解释变量y与k-1个解释变量x₂,x₃，…，x_k及扰动项u之间存在着某种线性关系。对于n个样本观测值，其关系式为：

y_i＝β₁+β₂x_i2+β₃x_i3+…+β_kx_ik+u_i (5)

i=1,2，…，n,k用矩阵形式可表达为：

y=Xβ+u (6)

其中

β和u的分布参数是未知的，需要通过估计求得其估计值。为此须做出下列假设：❶随机变量u_i的零期望值假设，即E(u) =0;
❷同方差性，即E(u²_i)≅σ²_u，表示随机变量u_i具有固定不变的方差σ_u²;
❸X是一个确定的矩阵，即X为非随机变量；
❹X的秩小于n，即P(X)=K选择估计式的准则有：❶最小平方准则，即应使残差(实际观测值Y_i与相应估计值_i之差)平方和∑(Y_i-_i)²最小；
❷可决系数R2最大准则；
❸无偏性准则，即估计式的期望值E(β)等于参数真值β,E()=β;
❹均方误差(MSE=E(-β)²最小准则，指当考虑有偏估计时应选择其中均方误差最小者为估计式等。对于单一方程，一般可用普通最小二乘法估计。当存在异方差性，即σ2u≠常数时，可使用广义最小二乘法或者加权最小二乘法。当存在序列相关时，可使用广义最小二乘法。当存在多重共线性，即解释变量间存在线性关系或接近线性关系时，应先设法克服多重共线性，然后再选择适当方法进行估计。对于联立方程组，首先要对模型进行识别。模型识别可划分为可以识别和不能识别两种情况，前者指联立方程组中每个方程都具有唯一的统计形式。后者指联立方程组中有一个方程或一个以上方程没有唯一的统计形式。可以识别的模型中又分为正确识别和过渡识别两种情形。前者的结构参数具有唯一的数值。后者的结构参数具有多个数值。不能识别的模型无法估计。正确识别的模型可用间接最小二乘法估计。过渡识别的模型可选择二阶段最小二乘法估计。
假设检验 在完成参数估计后，须对估计结果进行经济意义检验、统计检验、经济计量学检验以及模型预测能力检验。
经济意义检验的任务是检验模型是否与经济理论以及人们实际经验相符，主要指模型参数正负符号和大小是否与预先设定的理论期望值相符合。当不相符时，要查明原因，寻求校正方法。如数据不足，则应补足数据。如违反所用估计方法的某些假定，则应设法满足假定要求或另选其他更适宜的估计方法。当判明原有模型确实不能用来解释给定社会经济现象的一般规律时，就应抛弃该模型，重新构造新的模型。
统计检验包括拟合程度检验、回归方程显著性检验和估计值标准差检验等。其主要任务是根据统计学给定的各项统计检验标准，检验各估计值是否符合统计假设要求。运用可决系数R2（即相关系数的平方）检验拟合程度，R2是模型中可以解释的变差(由于解释变量X不同引起的差异)与总变差之比。总变差中不仅含有因X不同引起的变差，还含有由其他因素的影响引起的变差。R2越接近于1，说明模型解释变量可以解释的变差所占比重越大，模型越接近于实际情况，即拟合程度越高。回归方程显著性检验是通过方差分析构造统计量下进行的。设F_α(ν₁,ν₂)是给定显著水平α,υ自由度分别为ν₁和υ₂的F理论分布值。如果根据样本数据计算得到的F>Fα(ν₁,ν₂)，就可以认为回归模型总体是显著的，估计结果是可以接受的。否则，模型就是无意义的。估计值的标准差检验是通过衡量估计值与真实参数的离差来检验估计值可靠性的方法。参数的标准差越大，估计值可靠性越小。在统计检验中，一般用构造t统计量来替代估计值标准差检验。假设t_α(ν)为给定显著水平α, 自由度为ν的理论分布值，如果统计量t>t_α(ν)，则称估计值β在统计上是显著的，也就是参数值的标准差小，估计值的可靠性大。否则，估计值β在统计上是不显著的，参数值的标准差大，估计值的可靠性小。
经济计量学检验包括模型识别、序列相关检验等。模型识别的任务是判别联立方程组中每个方程是否都具有唯一的统计形式，即模型的简化式(3)能否对应唯一的结构式(1)。序列相关检验的任务是判别是否存在序列相关的随机扰动项。序列相关检验一般用杜宾-瓦特森检验，即D-W检验，有时也可用冯·诺伊曼比检验或回归检验法进行检验。
模型预测能力检验的任务是分析估计值的稳定性及其对于样本容量变化时的灵敏度，以判明估计的模型可否用于样本观测值以外的范围，因此有时也称之为模型的超样本特性检验。检验时，可扩大样本，对增加样本容量后的模型重新进行估计，并将估计结果与原模型估计结果相比较，检验两者差异的显著性。也可以把估计出的模型用于样本以外某历史时期的预测，比较预测值与实际观测值，检验两者差异的显著性。如果上述两种检验结果表明差异显著，即可断定该模型的稳定性和超样本特性差，预测效果差。反之，可得到较好的预测结果。
应用 运用模型可进行结构分析、经济预测和政策评价。
结构分析的目的是通过对各经济变量相互关系的分析，说明所研究的经济现象。为此，要运用比较静力学(comparative statics或称比较静学)、弹性和乘数法对于反映各经济变量关系的系数及其组合进行科学的解释。比较静力学方法是通过比较经济系统在不同平衡位置上的状态，研究模型中系数、外生变量及滞后变量的变化对内生变量平衡值影响的方法。其研究结果可以用弹性分析的形式来表达。以柯布-道格拉斯生产函数Y=AL_αK_β为例，式中α是劳动力L的弹性，表明L在形成产值或收入Y中所起的作用；β是资本K的弹性，表明K在形成Y中所起的作用。取不同地区、不同年份的劳动力L与资本K的弹性值，即可进行比较静力学研究。乘数也是对经济结构分析的重要工具，又称影响乘数。它反映外生变量变化对于内生变量的影响。乘数分为短期乘数、中期乘数和长期乘数。短期乘数指现期外生变量的变化对同期内生变量的影响。中期乘数指现期外生变量以及有限个以前时期外生变量的共同变化对现期内生变量的影响。长期乘数指所有时期(趋于∞)外生变量的共同变化对现期内生变量的影响。
经济预测是建立和应用经济计量学模型的一项主要目的。一般用简化式进行经济计量学预测，分为短期预测和长期预测。在给定经济计量学模型的简化式以后，可以由下式给出所有内生变量的短期预测值：

由式(7)可以看出，下一时期内生变量的预测值是由两个分量和一个判别分量构成的。第一个分量是_1yT,yT为要预测的p个内生变量的行向量，₁为具有p×p个元素的内生变量估计系数矩阵。第二个分量是_2T+1T+1是q个外生变量预测值，₂为具有p×q个元素的外生变量估计系数矩阵。外生变量的预测值不是由经济计量学模型决定的，而是由系统之外的其他因素确定的。因此在对内生变量进行预测之前，首先要对所有外生变量进行预测。第三个分量是附加因素_T+1，又称为判别分量。它是随机扰动项未来值的估计值。附加因素反映了专家对于不包括在模型中因素的判断，在模型中有特殊重要性。由于客观经济系统是非常复杂的巨系统，只有应用尽可能多的变量和关系式，尽量减少附加因素，才能提高预测精度。因此，一般应采用中型或大型模型进行预测。如果预测范围h超过某一预先规定的范围h0，就称为长期预测。预定范围h₀是由预测变量本身性质和预测目的决定的。在一般情况下，h0=5年。长期预测是在简化式得出的预测值基础上用叠代方法进行的。运用经济计量学方法进行预测，一般比用其他方法有较高的预测精度，并能对影响预测值的各种因素进行比较深入的分析，但是对数据要求严格，需要时间较长，费用也较高。
政策评价是建立经济计量学模型的最终目的。可运用工具-变量法、最优控制法或系统仿真法对经济政策进行评价。
工具-变量法的两个基本假设条件是：❶假定存在着某个固定的政策目标，即每个内生变量存在着某种期望水平yT+1;
❷称为工具变量的政策变量的数目要超过或等于内生变量的数目p，即L≥p,L—p称为政策的自由度。上述基本假设决定了工具-变量法的缺点是在目标之间无法进行比较权衡，不能确定决策人想要选择的特殊目标。
最优控制法的特点是假设存在由内生变量和政策变量数量关系决定的某种目标函数W=W(yT+1,rT)。式中的内生变量yT+1和政策变量rT直接影响着表示国民经济效益的目标函数。这样就可以构造一个最优规划模型：

满足约束

求解后即可确定控制变量（政策变量）的最优数值。
仿真方法是运用模型在电子计算机上进行多次仿真试验以确定系统行为特点，考察各种不同政策方案对经济系统影响的方法。一般运用简化式进行仿真试验。试验时，可提出若干个备选政策方案。比较它们的利弊得失，即可选出一个比较令人满意的政策方案。