算术基本定理suanshu jiben dingli

又称整数的唯一分解定理.任一大于1的整数，如果不论质数的次序，都能唯一地表成质数的连乘积.即对任一整数a(a>1)都有a=p₁p₂…p_n,p₁≤p₂≤…≤p_n，其中p₁,p₂…，p_n都是质数.并且若a还能表成a=q₁q₂…q_m,q₁≤q₂≤…≤q_m，其中q₁,q₂，…q_m都是质数，则m=n,q_i＝p_i(i=1,2，…，n).
由算术基本定理可知，任一大于1的整数a，都能够唯一地写成：a=p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k,ai>0,i=1,2，…，k，其中p₁

2<…pk都是质数.这叫做整数a的标准分解式.
理论上讲，任一大于1的整数，都可写成标准分解式的形式.但在实际计算时，特别当a很大，由于计算量太大，常常难以做到，如费尔马数F₇＝2²⁷+1=2¹²⁸+1 (它有39位)，直到1970年才把它分解成两个素因数的乘积.可见，利用整数的标准分解式来求最大公因数和最小公倍数，不如用辗转相除法方便.
初等数论中的许多结果都直接或间接地依赖于算术基本定理，顺便指出，在自然数集合的子集中若相应修改素数定义，则分解的唯一性法则不一定成立.例如，考察全体正偶数：2,4,6,8,10,12，…其中，如12=2×6，可以分解成两个偶因数的乘积；而2,6,10，等其因数中只有一个偶数因子2，就叫做偶素数.由此可见，每一个正偶数或者是一个“偶素数”，或者可以表成若干个“偶素数”的乘积，二者必居其一.但是这样的“偶素因数”分解式不一定是唯一的.例如60=2×30=6×10，其中2,30,6,10都是“偶素数”.

算术基本定理Suanshu jiben dingli

任何大于1的整数，都可以表示成质数相乘积的形式，并且，如果不计因数的次序，这种表示法是唯一的。也就是说，设N为一个大于1的整数，那么❶N可以表示成质数乘积的形式： N=p₁p₂……pn, 这里p₁, p₂, ……， pn都是质数。
❷如果N有两种分解形式：N=p₁p₂……p_n,N=q₁q₂……q_m，这里p₁,p₂，……，pn和q₁,q₂，……，q_m都是质数，那么n=m，并且适当改变q₁,q₂，……，q_m的次序，可以使得p₁＝q₁, p₂＝q₂, ……， pn=qn。算术基本定理，也叫做唯一分解定理，是分解质因数的理论根据。作为分解质因数的结果，任何大于1的整数N总可以写成相异质数幂的连乘积的形式： N=pe11pe22……penn，其中p₁,p₂, ……，p_n是质数，p₁

2<……，

n;e₁,e₂, ……，e_n都是自然数。这样的分解式叫做自然数N的典型分解式。例如720=2×2×2×2×3×3×5, 720的典型分解式为 720=2⁴×3² ×5。