积分几何学

106 积分几何学

通过各种积分研究图形性质的一个数学学科。隶属于整体微分几何。起源于几何概率的研究，其发展也与几何概率相联系。它从研究欧氏平面与三维欧氏空间开始，逐步推广到高维欧氏空间与非欧空间，再到齐性空间。由于积分几何与概率和统计相联系，因此它在生物学、医学、矿物学、金属学、物理、天文、建筑及声学诸多学科中皆有应用。有些几何对象的立体性质只能通过对它们的直线截痕或平面截痕的观测加以推算，积分几何为此提供了理想的研究工具。数学家陈省身在积分几何研究中作出了卓越的贡献。他与法国数学家A·韦伊建立了满足一定条件的齐性空间积分几何理论。引进了一种较一般的“关联”概念，并在此基础上推广了克罗夫顿公式，得到E_n中紧致流形的一般公式，作为运动主要公式的补充。此外。数学家严志达与陈省身合作给出积分几何运动公式。严志达还计算出单纯李群蓓蒂数，并解决了非紧致对称空间的分类问题。数学家吴大任第一次把包含运动主要公式在内的欧氏空间积分几何的成果推广到三维椭圆空间。他还证明了关于E₂和E₃中凸体弦幂积分的一系列不等式。数学家任德麟得到n维欧氏空间与非欧空间中含在一个凸体内的定长线段测度公式，将关于弦幂积分的不等式推广到E_n，他还推广了蒲丰投针问题。