二次函数

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一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．

注意 1．二次函数仅仅要求二次项系数a不为0，对一次项系数和常数项没有要求．

2．当a≠0，b=0，c=0时，二次函数为y=ax²．

3．当a≠0，b=0，c≠0时，二次函数为y=ax²+c．

4．当a≠0，b≠0，c=0时，二次函数为y=ax²+bx．

例1 下列函数哪些是二次函数

(3)y=a²x²+1(a为常数)；

(4)y=(a²+1)x²+1(a为常数)；

(6)y=2－5x；

(7)y=2(x－5)²+7；

(8)y=3x³+7x²+5；

(9)y=7－2x²；

(10)y=3x²－5x．

答 (4)(5)(7)(9)(10)．

[解析] (1)中自变量x在分母中．

(2)中自变量在根号里．

(3)中a=0时，不是二次函数．

(6)是一次函数．

(8)中自变量的最大指数是3．

例2 若y=(n²－n)x^n2+3n－2是关于x的二次函数，那么n的值为( )．

A．－4或1 B．－4

C．1 D．2

答 B．

[解析1 由题意可得

由❶ 得 n=－4或n=1，

由❷ 得 n≠0且n≠1．

∴n=－4故选B．

例3 下列说法正确的是( )．

A．函数y=ax²的图象经过原点，是y关于x的二次函数

B．若y与x²成正比例，则y是x的二次函数

C．函数y=ax²+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数

D．函数y=ax²(a>0)中，无论x为何值，y的值总是正数

答 B．

[解析] A当a=0时，y不是x的二次函数．

C当a=0时，y不是x的二次函数．

D当x=0时，y=0，不是正数．

例4 正方形ABCD的边长为8cm，P在BC上，Q在CD上，AP⊥PQ，BP=xcm，CQ=ycm，求y与x的函数关系式．

解 ∵AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，

∴∠APB=∠PQC．

又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCQ，