欧拉定理oula dingli

费尔马定理的一个推广.若m是大于1的整数，(a,m)=1，则a^φ(m) ≡ 1(modm)，这就是著名的欧拉定理.
当m=p为质数时，则由欧拉定理可得a^p-1 ≡ 1(modp)，即费尔马定理.证明：设r¹,r²，…，r^φ(m)，是模m的一个简化剩余系，因为(a,m)=1，故ar₁,ar₂，…，a r_{φ (m)}，也是模m的一个简化剩余系. 因此

(ar₁) (ar₂)…(ar_φ(m)) ≡ r₁r₂…r_φ(m)(modm)

即a^φ(m)r₁r₂…rφ(_m)≡r₁r₂…r_φ(m) (modm)
但(r_i,m)=1,i=1,2，…φ(m)，故(r₁r₂…r_φ(m),m)=1.于是a^φ(m)≡1(modm).
欧拉定理的应用很广，如，可以用来简化求余数
的计算，例如，求1777¹⁸⁵⁰被45除的余数. 因为
φ (45) = φ (3²·5) =24,(1 777,45)=1，及1 850=24×77+2，故由欧拉定理可得

1777¹⁸⁵⁰ =(1777²⁴)⁷⁷ ·1777² ≡ 17772 ≡ 22²≡ 484≡34(mod45)

即余数为34.
利用欧拉定理还可以解一元一次同余式 (参见“一次同余式的解法”)

欧拉定理Euler’s Theorem

系说明齐次生产函数之边际产量与总产量关系的一个定理。这个定理说明，如果某一生产函数包含着与生产规模成比例的不变利润，则其边际产品总量等于总产品。在关于分配的边际生产率理论的发展中，这个定理起过重要作用。这个定理包含对一些齐次方程进行偏微分。它表示，如果f(x,y)系n次齐次式， 则x (∂f/∂x) +y(∂f/∂r)=nf (x,y)，为了证明此定理，设P=f(L,C)为包含用于某种产品的劳动L和资本C的生产函数，假定该生产具有与生产规模成比例的不变利润，因而其生产函数是线性齐次式，当n=1时，可以应用欧拉定理如下： L (∂F/∂L) +C(∂f/∂C)=f(L,C)=P，由于∂F/∂L与∂F/∂C分别为单位劳动的边际产品与单位资本的边际产品，故这个方程式说明，以劳动者人数L乘劳动的边际产品∂F/∂L加上资本的单位数C乘资本的边际产品∂F/∂C等于总产品P。欧拉定理在经济决策中有特定的作用，例如对固定投入和可变投入所带来的效益的分解和分摊，就可用欧拉定理来解决。