| 字词 | 极限 |
| 类别 | 中英文字词句释义及详细解析 |
| 释义 | 极限 河伯曰：“世之议者皆曰：‘至精无形，至大不可围。’是信情乎？” 北海若曰：“夫自细视大者不尽，自大视细者不明。夫精，小之微也；垺，大之殷也；故异便。此势之有也。夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也。可以言论者，物之粗也；可以意致者，物之精也；言之所不能论，意之所不能察致者，不期精粗焉。……” 《庄子·秋水》 【评】《庄子》借河伯与北海若的问答阐发了“至精无形”及“无形不能分”的思想。后来刘徽对锥体施以无穷小分割时的“至细曰微，微则无形”的思想，以及“数而求穷之者，谓以情推，不用筹算”的思想，当与此有渊源关系。 惠施多方，其书五车，其道舛驳，其言也不中。历物之意，曰：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。无厚，不可积也，其大千里。……” 惠施以此为大，观于天下而晓辩者，天下之辩者相与乐之。……飞鸟之景未尝动也，镞矢之疾而有不行不止之时，……一尺之捶，日取其半，万世不竭。辩者以此与惠施相应，终身无穷。 《庄子·天下》 【评】《庄子》所引辩者的许多命题，含有深刻的极限思想，尤以“一尺之捶，日取其半，万世不竭”,最为著名。 非半弗𣃈(毕云：《玉篇》云：“𣃈，知略切，破也。”卢云：非此义，此当与“斫”、“斮”义同。沅案：“𣃈”即“斮”字异文耳。杨云：“𣃈”同“櫡”。按：杨说是也。《集韵》十八“药”云：櫡，《说文》“斫”谓之“櫡”,或从“斤”,作“𣃈”,此“𣃈”即“𣃑”之变体。旧本作“”,讹。“𣃈”,“斫”同诂，与“斮”音义亦略同，而字则异。毕说未审。)则不动，说在端。(若尽其端，则无半可言，是终古不能𣃈也。故云“不动”。) 《墨子·经下》(见清·孙诒让《墨子间诂》) 非𣃈半，(𣃈，櫡之别体。此疑当作“𣃈非半，即约经云：非半弗𣃈也，而反辞以明其义。)进前取也。(非半而𣃈之，则每𣃈前进也。)前，则中无为半。(言半者，必前后之中。进前取，尽其端，则中无所谓半。)犹端也。(端，即前也。《经上》云：“端，体之无序而最前者也。”此言虽取中𣃈之，终必前极其端。)前后取，则端中也。(前后端之中，即所谓半。)𣃈必半，毋与非半。(“毋”,吴钞本作“无”。)不可𣃈也。(尽其端，则无半，不复可𣃈。《庄子·天下篇》云：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”《释文》引司马彪云：若其可析，则常有两；若其不可析，其一常在。故曰“万世不竭”,即此义也。依张杨说，此释《经下》“非半弗𣃈则不动，说在端。”) 《墨子·经说下》(见清·孙诒让《墨子间诂》) 【评】《墨经》中的以上两段文字的诠释，自清以降，众说纷纭，然其中含有极限思想，则是共同看法。并且，后来刘徽割圆术中“不可割”的思想与墨家的“不可𣃈”有着渊源关系，也是无疑的。 汉兴，破觚而为圜，斫雕而为朴，…… 《史记·酷吏列传》 【评】司马迁由治轮等手工业工序抽象出来的“破觚为圜”,其本意在于比喻汉废除秦的严刑苛法，不过很可能成为刘徽割觚为圆的思想渊源。 又按：为图：以六觚之一面乘一弧半径，三之(原本作“二因而六之”,依戴震校),得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之(原本“六之”前有“四因而”三字，依戴震删),则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，犹有馀径。以面乘馀(原脱，依钱宝琮补)径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无馀径。表无馀径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂。此以周径，谓至然之数，非周三径一之率也。 《九章算术·方田》三国魏·刘徽注 【评】这是刘徽用极限思想对圆面积公式的极其严格的证明。 邪解立方得两堑堵。邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腝，阳马居二，鳖腝居一，不易之率也。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】这是刘徽为证明阳马和鳖腝的体积公式而提出的一条重要原理：一堑堵分成一阳马与一鳖腝，阳马与鳖腝体积之比恒为二比一。是为刘徽体积理论之精髓，可称为刘徽原理。刘徽用极限思想证明了它。由于堑堵体积为1/2abh,那么阳马与鳖腝的体积公式是显然的。 其棋或修短，或广狭，立方不等者，亦割分以为六鳖腝。其形不悉相似，然见数同，积实均也。鳖腝殊形，阳马异体。然阳马异体，则不可纯合。不纯合，则难为之矣。何则？按：邪解方棋以为堑堵者，必当以半为分；邪解堑堵以为阳马者，亦必当以半为分，一从一横耳。设为阳马为分内，鳖腝为分外，棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】此处阐明在长、宽、高不等的情况下刘徽原理仍然成立，然用棋验法无法证明之。因此，必须另辟蹊径。 其使鳖腝广、袤、高各(原本“高各”误倒，戴震校正)二尺，用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中效其广、袤(原本脱“袤”,依意补),又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺、方一尺(两“一尺”,原本作“二尺”,依意改),每二分鳖腝则一阳马也。其馀两端各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固有常然之势也。按馀数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣，其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置馀广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少，其馀弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取馀哉？数而求穷之者，谓以情推，不用筹算。 《九章算术·商功》三国魏·刘徽注 【评】刘徽用无穷小分割证明刘徽原理，说明他实际上已经开始考虑后来高斯(1777—1855)关于不用无穷小分割是不可能解决四面体体积的猜想，这个猜想成为希尔伯特二十三个数学问题之第三个问题的核心。 极限jíxiàn〈名〉最高限度：超过极限│达到极限。 极限jí xiàn最高的限度。1909年钟观光《理科通证·动物篇·鸡》：“其本性终不免好温而忌寒，常以北纬六十三度为其北行之极限。” 限度 限度限(权～；时～) 度 程 纪极涯分 涯限 涯艺 止境 另见：范围 规定 超过 ☚ 限度 余地 ☛ 极限 极限jixian设y是在某一过程中的变量，若对于任意给定的正数ε，在这个过程中总存在一个时刻，自这时刻以后，变量y与某常数a之间永远满足不等式|y-a|<ε，则称y在这个过程中以a为极限，或称a是y的极根，记作limy=a. ☚ 邻域 数列的极限 ☛ 极限反映函数或数列等变量的变化趋势。变量y按照某一规律变化时无限接近一个常数A，则称A为y的极限，记作limy=A，或y→A。对于实数数列a1,a2，…，an，…，如果n无限增大时，an无限接近一个常数A，则称A为此数列的极限或此数列收敛于A。对于函数f(x)，如果自变量x无限接近x0时，函数值f(x)无限接近一个常数A，则称A是函数f(x)当x趋向x0时的极限。 极限limit 极限the limit;the maximum;the tipping point;the ultimate |
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