最可能数

最可能数(MPN)，是液体中细菌密度的估计值，它不经直接计数，而通过稀释法推算。MPN常用于监督执行国家卫生标准，如卫生管理中用每100ml饮用水或牛奶中大肠菌的最可能数来评定水质好坏及牛奶污染程度。MPN的计算方法有试算法与近似法，后者较为简便。
用稀释法估计细菌密度的基本原理是：若100ml水中含有100个细菌，从中采样，每次取10ml培养，平均每支试管有10个细菌，一般说来都会得到阳性结果；可是每次取1ml或0.1ml检品培养，就可能出现阳性和阴性两种情况。记录不同稀释度时各管组(常用3管或5管)的阳性管数与阴性管数，再通过概率计算，即可求得MPN。
试算法 假定细菌在检品中是均匀分布（可通过震荡等法来彻底混匀），每支试管只要有一个或一个以上细菌就会出现阳性。设N为液体（包括细菌）总容量(ml),v为每个细菌的微小容量(ml),λ为每1ml液体中细菌的个数，N/v为液体总容量的份数(以1个细菌的微小容量为单位),NX为液体总容量中细菌所占微小容量的份数(以1个细菌的微小容量为单位)，也可看成细菌的总数，(N/v-NX)为液体中水所占容量的份数，p为vml培养液中阴性的概率，q为vml培养液中阳性的概率。则

故αml培养液中阴性的概率为

p=(1-vλ)α/v,
lnp=ln(1-vλ)α/v,

按Maclaurin级数展开，得

由于v很小，故

ln p≐-αλ,

即 p=e-αλ,
q=1-e-αλ。
若取三种稀释度，各设一个管组，培养结果用符号表示如下：

稀 释 度	a1	a2	a3
培养管总数	n1	n2	n3
阳性管数	r1	r2	r3
阴性管数	s1	s2	s3

当稀释度为α1 （即每管的检品量）时，n₁管中有r₁管阳性，s₁管阴性的概率，可借二项分布求得：

推而广之，上述三个稀释度下，事件同时出现的概率P为：

当r₁、s₁、α₁; r₂、s₂、α₂; r₃、s₃、α₃确定后，上式仅λ为变量。将此式对λ求导数并令结果等于0，以解概率极大时之λ值。即：

λ值可由式(2)通过试算法求得，亦可用优选法帮助估算。实际工作中已有用本法编成的便查表可查。
例1 试由下列水样培养结果，估计每100ml水中的大肠菌

数。 培养管总数 3 3 每管检品量(ml) 10 1 阳性管数 3 2 阴性管数 0 1

代入式(2)得

用试算法确定λ值：

令λ为	代入上式右端得	与上式左端比较
1 1.2 1.1	1.1653 0.8622 0.9984	大于1 小于1 近于1

估计该水100ml中有大肠杆菌的最可能数为110个。
例2 试由下列奶样检验结果，估计每100ml牛奶中的大肠菌数。

培养管总数	3	3
每管检品量(ml)	1	0.1
阳性管数	0	3
阴性管数	3	0

代入式(2)得

用优选法确定λ值：
已知优选范围为λ=0～1个/ml。

选定入值	代入上式 右端得	与上式左 端比较
❶0.62(≐0.618) ❷0.85(≐0.618+0.382×0.618) ❸0.94(≐0.854+0.146×0.618) ❹0.95(略大于0.94) ❺0.96(略大于0.95)	4.69 3.38 3.04 3.01 2.98	>3 >3 >3 很接近 <3

估计此牛奶每100ml中有大肠杆菌的最可能数为95个。
近似法 按式(3)计算。

式中∑r为阳性管数之和，N为检样总量(ml),∠为阴性样总量(ml)。当A/N>0.05时，用近似法求MPN的效果是满意的。
例3 仍用例2资料，估计每100ml牛奶中的大肠菌数。本例∑r=3,N=1×3+0.1×3=3.3(ml),A=1×3+0.1×0=3(ml)。
A/N = 3/3.3=0.91>0.05，用近似法，按式(3):

与例2结果相同。
最可能数的可信区间 对于以10为倍数的稀释度系列，每种稀释度用n管，重复检验的MPN服从对数正态分布。故总体MPN的95%可信区间的对数值可按式(4)计算，取反对数即得真数值。

例4 取三种稀释度10ml,1ml,0.1ml的检样，各用三个试管，培养得大肠菌阳性管数分别为3,1,1，算得MPN为75个/100ml，求95%可信区间。

取反对数得(18,314)
本检品每100ml中大肠菌MPN的95%可信区间为18～314个。