两个总体均值相等假设检验

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假设检验的一种。

两个总体均值相等的假设检验。可分为以下四种情况：(1)两个总体相互独立、方差已知时。

若总体X₁与X₂相互独立，X₁～N(μ₁，)，X₂～N(μ₂，)，其中与已知，而μ₁与μ₂未知。在双侧检验情形下，待检验的统计假设是H_0：μ1=μ₂；H_1：μ1≠μ₂。

由统计抽样理论知，在H₀成立时，统计量Z=服从标准正态分布。式中与n₁是来自总体X₁的样本均值与样本大小；与n₂是来自总体X₂的样本均值与样本大小。

由给定的α，查得标准正态分布的双侧α分位点Z_α／2与－Z_α／2，满足P｛Z＜－Z_α／2｝=P｛Z＞Z_α／2｝=。当由样本计算出的Z的观测值Z₀满足｜Z₀｜＞Z_α／2时，拒绝H₀；否则就接受H₀。

在单侧检验情形下，若统计假设是H₀： μ₁≤μ₂；H_i：μ1＞μ₂，检验统计量仍是Z=，对给定的α，查得标准正态分布的右侧临界点Z_α，它满足P｛Z＞Z_α｝=α。

当统计量Z的观测值Z₀＞Z_α时，拒绝H₀；否则接受H₀。若统计假设是H_0：μ1≥μ₂；H_1：μ1＜μ₂，则应查左侧临界值－Z_α，它满足P｛Z＜－Z_α｝=α。若Z₀＜－Z_α，则拒绝H₀；否则，接受H₀。

(2)两个总体相互独立，方差未知但相等，即==σ²时。若X₁～N(μ₁，)，X₂～N(μ₂，)，X₁与X₂相互独立，参数都未知，双侧检验情形下待检验的假设是H_0：μ1=μ₂；H_1：μ1≠μ₂。从两总体中分别抽取随机样本(X₁₁，X₁₂，…，X₁n₁)，(X₂₁，X₂₂，…，X₂n₂)，它们的均值是X₁与，方差是与。其中=(X_1i－)²，=(X_2i－)²。由于==σ²，故用两样本的混合方差来估计σ²，=。此时检验统计量为t=统计抽样理论表明：在上面条件下，若H₀成立，则t服从自由度为n₁+n₂－2的t分布，检验的拒绝域是t₀＜－t_α／2或t₀＞t_α／2。

这里t₀是统计量t的观测值，－t_α／2与t_α／2是t分布的双侧α分位点，即满足P｛t＞t_α／2｝=P｛t＜－t_α／2｝=。若统计假设是右侧检验：H_0：μ1≤μ₂；H_1：μ1＞μ₂，此时只在t分布的右尾设置拒绝域，查t分布数值表得右侧α分位点t_α：P｛t＞t_α｝=α。

而当t₀＞t_α时，拒绝H₀。若统计假设是左侧检验：H_0：产1≥μ₂；H_1：μ1＜μ₂，拒绝域在分布的左尾。查表得t_α：P｛t＜－t_α｝=α，则当t₀＜－t_α时，拒绝H₀。(3)两个总体相互独立，方差未知，且≠时。

这时没有精确分布来检验H_0：μ1=μ₂，但统计量t^*=渐近地服从t分布，其自由度为v=－2。(4)两总体不是相互独立，即相关时，使用配对t检验。当两总体不独立时，通常只讨论两总体是配对相关这一特殊情况：即两总体在某些方面是“共享”的或“连带”的，亦称配对总体。

如对同一组学生进行心理辅导实验，观测他们接受辅导前与接受辅导后的学习成绩的变化，于是每个学生都有两个成绩：辅导前的成绩X₁与辅导后的成绩X₂。

这两个成绩是配对的，它们来自同一名学生。这种情况的两总体又叫配对总体，记为(X₁，X₂)。若X₁～N(u₁，)，X₂～N(u₂，)。对配对总体进行n次观测，得样本(X₁₁，X₂₁)，(X₁₂，X₂₂)，…，(X_1n，X_2n)。记D_i=X_1j－X_2j(j=1，2，…，n)，μ_D=μ₁－μ₂。检验“H_0：μ1=μ₂”等价于检验“H_0：μD=0”。于是要检验的假设可写为H_0：μD=0；H_1：μD≠0。采用的检验统计量是t=。

式中=D_j／n，S_D=。由统计抽样理论知：在H₀成立时，t服从自由度为n－1的t分布。对给定的α，查t分布数值表得双侧α分位点t_α／2。若统计量t的观测值t₀满足｜t₀｜＞t_α／2，则拒绝H₀，即两总体均值μ₁与μ₂之间存在显著差异。