幻方及其构作法Huanfangjiqigouzuofa

传说大禹治水时，洛水中浮出一只神龟，神龟背上的图案，人们称为洛书。所谓“洛书”就是把1-9九个数字，填入以下图形中，每格填一个数，使图中各行、各列及两条对角线上三个数之和都相等。我国南宋数学家杨辉又将这种图称为“纵横图”。这种图的现代名称是3阶幻方，一般地，在n×n的方格图形中填入n²个连续自然数(通常从1开始)使每行、每列及两条对角线上的数之和都相等， 则得到一个n阶幻方。
(1)3阶幻方的构作：把9个数填入9个方格共有99=387 420 489种不同填法，因此尝试所有可能的想法是不可取的。我们用倒推的办法分析， 假设幻方已填好如下：

a1	a2	a3
b1	b2	b3
c1	c2	c3

由于9个数总和为45, 又各行、各列及两条对角线上的数的和都相等， 故 a₁+b₂+c₃＝15 a₃+b₂+c₁＝15, a₂+b₂+c₂＝15, 三式两边相加： (a₁+a₂+a₃)+(c₁+c₂+c₃) +3b₂＝45, 因 a₁+a₂+a₃＝c₁+c2+c3=15, 故b2=5。现在来看角上的数字， 若a1为奇数，因b₂＝5 是奇数且a₁+b₂+c₃＝15，故c₃也是奇数，其余6个数中，还有二个奇数，不论把它们放在其余的哪两个位置，都将导致第一、三两行或第一、三两列中有一行或一列中出现两个奇数，一个偶数，这与各行、各列三个数的和都相等(都等于15)矛盾。因此，a₁必为偶数，同理a₃、c₁、c₃都是偶数，试取a₁＝4，则c₃＝6，取a₃＝2则c₁＝8，其余各数可由每行、列的和等于15唯一确定， 于是求得3阶幻方如下。

4	9	2
3	5	7
8	1	6

综上述， 构作3阶幻方的方法可归结如下：
❶先求幻和，即每行、列三个数的和；
❷再求中心数，即位居幻方正中的数；
❸定四角；
❹求其余的数。
(2)奇数阶幻方的求法，凡奇数阶幻方可依以下一般方法构作。把1置于上行正中，按从小到大顺序向右上逐个填写，遇到出格情况，照下面两原则处理：
❶要填的数超出幻方上边界，则填在同一列的最下行；
❷要填的数超出幻方右边界，则填在该行最左边；
❸要填的数的位置上已有数，或超出右上角，则填在前一个数下方、下图的7阶幻方，就是依此办法构作的
其中，2应填在1的右上，因出了上边界， 故填在第五列最下边，5应填在4的右上，因出了右边界， 故填在第4行最左边， 8应填在7的右上，但该位置已被1占据，故填在7下边， 29应填在28右上，但超出了右上角，故填在28的下边。这种方法是法国人de la loubere于十七世纪发现的。
可以证明2阶幻方不存在，若存在则幻和为5，于是1、2、3、4四数中任何二个之和应为5，这不可能。但当n为任何2以外的自然数时，n阶幻方都存在。不过一般偶数阶幻方的构作方法较为复杂， 这里不作介绍。