圆系yuanxi
具有某一共同性质的圆的集合.它们的方程叫做圆系方程.
在圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2或x2+y2+Dx+Ey+F=0中,固定两个(或一个)系数,而另一个(或两个)系数可在实数集内取其允许值,则方程就成为圆系方程.含有可变的系数(称为参数)是圆系方程的基本特征.
常见的圆系有:
❶同心圆系.在方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,固定a和b的值,使r取不同的正实数值,构成一个同心圆系.
❷共轴圆系.共根轴的圆系叫做共轴圆系,共轴圆系的方程是x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,其中λ为不等于-1的任意实数,此圆系中不包括第二个圆,λ=-1时,方程(D1-D2)x+(E1-E2) y+(F1-F2)=0表示根轴.共轴圆系方程可简化写作C1+λC2=0.当圆C1和圆C2相交时,方程表示过两圆交点的圆系,根轴就是公共弦所在直线(如图1);当圆C1和圆C2相切(内切或外切)时,方程表示过两圆的切点且和它们都相切于该点的圆系,根轴就是公切线(如图2);当圆C1和圆C2没有公共点(外离或内含)时,圆系中任何两圆都没有公共点,根轴也和圆系中任何一圆没有公共点(如图3).

图1

图2

图3
求过已知两圆交点的圆的方程时,可以先设为C
1+λC
2=0,然后用待定系数法求出λ的值,便可得到所求圆的方程.