圆周率

 小圆之圆，与大圆之圆同。
 

《墨子·小取》

 【评】这是墨家对圆的认识，大约认识到任何圆的周径之比是常数。
 此以周径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核。学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。
 

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

 【评】此处刘徽批评了前人沿习周三径一的错误及错误的原因，是为创造圆周率科学求法之前提。
 谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故置诸检括，谨详其记注焉。割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里六[原本无“六”字，依戴震补]觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为勾，为之求股。以勾幂二十五寸减弦幂，馀七十五寸。开方除之，下至秒忽。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十[原本作“下”,依钱宝琮校]为分母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒[原本讹作“丝”,依戴震校]五忽五分忽之二。以减半径，馀一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。[原本下衍“小句知半面五寸之勾”九字，戴震删。]觚之半面又谓之小股。为之求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，馀分弃之[原本讹作“全分并之”,依戴震校]。开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，馀分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其馀开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四。以减半径，馀三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，馀分弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置上小弦幂，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，馀分弃之，即勾幂也。以减弦幂，其馀开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四。以减半径，馀八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，馀分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，馀分弃之。即四十八觚之一面。以半径一尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为勾，为之求股。置次上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，馀分弃之，则勾幂也。以减弦幂，其馀开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以减半径，馀二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小勾。觚之半面又谓之小股。为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，馀分弃之。开方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，馀分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽。以百亿除之，得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六觚之幂减之，馀六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸，以为圆幂之定率，而弃其馀分。以半径一尺除圆幂，倍所得，六尺二寸八分即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五十七为率，方幂得二百为率。方幂二百，其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。按弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其中容方幂一[原本讹作二，戴震校正]百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五十，则其相与之率也。周率犹为微少也。
 

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

 【评】刘徽在中国历史上首次提出圆周率的正确求法，提出计算程序，并求出π≈157/50及圆与外切正方形面积之比为157∶200,是为刘徽修正《九章算术》与圆有关的不准确公式的依据。其计算程序优于古希腊的同类方法，奠定了中国在圆周率计算上长期领先的基础。
 此术^①微少，而差[“差”上原本有“斛”字，钱宝琮删，疑为“觚”]幂六百二十五分寸之一百五。以一百九[原本脱此三字，依李潢补]十二觚之幂以率消息，当取此分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得五千，是为率，方幂五千中容圆幂三千九百二十七，圆幂三千九百二十七中容方幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺，与周数通相约，径得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之，上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分，数亦宜然，重其验耳。
 

《九章算术·方田》三国魏·刘徽注

 [注]①指π=157/50
 【评】这是刘徽求出的第二个圆周率值，相当于π=3.1416,现在通用的即此值。
 古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率：圆径七，周二十二。
 

《隋书·律历志》

 【评】祖冲之所求圆周率精确到八位有效数字，相当于3.1415926<π<3.1415927,在世界上领先千馀年，他求出的密率π≈355/113是分母小于16604的最佳分数。
 割圜，古法也。圜不割则无由知圜之周。自魏刘徽注《九章算术》,以勾股术用圜内六边形起算，从其六觚之环，即为径一周三之古率，由是而弧矢之术生焉。元赵友钦《革象新书》用圜内四边形起算，由是而西人之六宗、三要、二简法^①生焉。元郭邢台授时草立天元一求弧矢，犹仍古率径一周三，不知周三者，举成数约而言之也。《九章·少广》注载汉张衡率：圜周幂五方周幂八，此与宋秦九韶《数学九章》环田三积术谓“以径幂进位为实，开方为圜周”率同^②。又《九章·方田》注载刘歆率径一千二百五十，周三千九百二十七(原注：注载王莽铜斛云云，未详谁氏之率，兹据《隋志》定此为歆率)^③。刘徽率径五十，周一百五十七。吴王蕃率径四十五，周一百四十二。迨刘宋南徐州从事祖冲之更开密率，以圜径一亿为一丈，圜周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈、朒之间。于是定径一百一十三，周三百五十五为密率；又定径七，周二十二为约率，后世因之，斯为最密。此外[原误倒]如明陈荩谟太极率径一，周三一五二五；邢云路率径一，周三一二六，又三才奇率径一，周三一二一三二○三四(邢氏二率，前率见《畴人传》,后三才奇率见。《古今律历考》);方以智《通雅》载径十七，周五十二；康熙朝袁士龙智术与顾长发率同，为径一，周三一二五；或失之少，或失之多，皆不逮祖氏率。厥后西士亚奇默德^④作《圜书》三题，其第二题定周三倍径又七十之十则朒，周三倍径又七十一之十则盈。以数考之，朒率即祖氏之约率。约率本大于密率，而盈率更小于密率八千二十三分之六。唯利玛窦等用内容外切诸术，屡求勾股，割之又割，内外相课，定为径一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四。以之立表求八线，理密数繁，然入算必资乎表。……是书^⑤于割圜之理推阐无遗，尤可舍表径求八线。朱小梁观察曾据术求得四十位周径率，为径一，周三一四一五九二六五三五八九七九三二三八四六二六四三一八六三六七四七二二七九五一四(小馀七一五一九),与割圜本法所求者合。盖推其原，先设十、百、千、万诸分弧，如本法乘除之，以求合于弦之二十四分、八十分、百六十八分，矢之十二分、三十分、五十六分。诸数俾弧矢奇耦率可互通。向之莫挟其旨者，一旦豁然，是诚术之至精且捷者也。
 

清·明安图《割圜密率捷法》岑建功序

 [注]①六宗是圆内接正六、四、三、十、五、十五边形边长的计算；三要是sin²α+cos²α=1,及倍弧的正弦和馀弦，半弧的正弦和馀弦三类公式；二简法指弧的和、差的正弦和馀弦及60°±r的正弦；都是十七世纪由传教士传入的。②这是说π≈。③π≈3927/1250不是刘歆率，而是刘徽所创，岑氏误。④岑氏不谙西方编年，将阿基米德(公元前三世纪)误为康熙时人。⑤指明安图《割圜密率捷法》。
 【评】岑建功系统叙述了中国圆周率的历史，除把西方传入的六宗、三要、二简法归于赵友钦的割圆术的派生，把π≈3927/1250归于刘歆，以及弄错阿基米德的时代外。都是相当准确的。

圆周率

数学名词。平面几何中圆周与其直径的长度之比，它是一个无理数。这是人类认识到的第1个常数。欧几里得的《几何原本》中已提到过它是常数，中国古代也早有“径一周三”的说法，即认为圆周率的近似值为3。用π表示圆周率始于欧拉(1737年)。通常以3.1416作为π的有理近似值，对日常计算这已足够精确。三国时期刘徽得出所谓徽率为3.14；南北朝时祖冲之得出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，并提出约率为22/7，密率（也称为祖率）355/113(精确到0.000001)。这比西方最早得出这个近值早了1100年。圆周率小数取至100位时，为3.141 592 653 589 793 238 462 643　383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 068 0(小数点后第97位起，尾数原为067 982 148…，截取100位小数时，进位才成068 0)。有些科学家用熟练背诵此数来训练记忆，锻炼思维。每年3月14日为世界π日。2005年11月19～20日，中国学生吕超连续无差错地背诵出π小数67890位，创下吉尼斯纪录。

053 圆周率

圆周与其直径的长度比。该比值是一常数，以希腊字母π记之。圆周率是人类认识到的第一个特殊常数。对于圆周率的研究，在一定程度上能够反映一个时代或一个民族的数学发展水平。中国古代数学家在圆周率的研究方面有着杰出的成就，对世界数学的发展作出了卓越贡献。
早在远古时，中国先民已认识到圆周长与其直径的比值是一个常数。不晚于公元前3世纪成书的《墨经》中已有“小圆之圆与大圆之圆同”的记载。直至 《九章算术》成书为止，一直沿用“径一周三”的古率。1世纪初，刘歆造律嘉量斛，取π=3.1547，后人称“歆率”。2世纪初，张衡计算球体积时，在世界上最早使用了π=曾取π=730/232≈3.1466。三国时吴人王蕃在浑议论说中取π=142/45≈3.1556。圆周率的精确度渐有提高。但以上均属经验值。3世纪，刘徽在《九章算术注》中创立“割圆术”。为计算圆周率提供了理论依据和严密的科学方法。刘徽运用极限思想得到圆内接正多边形的面积序列的不等式
S_2n圆n+2(S_2n-S_n)，并证明了圆面积等于半周乘以半径。在此基础上，他从半径为1尺的圆内接正6边形开始，逐次割圆，使边数倍增，直至求出圆内接正96边、192边形面积。利用公式

S₁₉₂圆96+2 (S₁₉₂-S₉₆)

求得。舍弃分数部分，取S_圆＝314平方寸，得π=3.14=157/50，后人称“徽率”。这是当时世界上圆周率的最佳值。在计算圆周率的历史上占有重要地位。进而求出π=3927/1250≈3.1416。5世纪，据推测，祖冲之运用割圆术进一步求出
3.1415926<π<3.1415927,
并以22/7为约率，355/113为密率，使中国在圆周率计算方面在世界上领先1100年之久。
对于圆周率的其他方面的研究，中国数学家也作了一定的工作。清代蒙古族数学家明安图 (约1691—约1768)利用自创的割圆连比例法独立证明了牛顿在1676年得到的公式：
，清代数学家项明达(1789-1850)在推导椭圆公式时得到圆周率的倒数公式：

李善兰利用他所创的尖锥术，求得

圆周率yuanzhoulu

圆的周长与直径的比.通常圆周率用希腊字母π表示.圆周率是一个无限不循环小数（无理数）,π=3.141 592 653 5….
我国古代的数学家对于圆周率的研究有过很突出的贡献.尤其是宋代的祖冲之，计算结果更为精密.祖冲之求得：

3.141 592 6<π<3.141 592 7.

并用22/7和355/113作为π的近似值.其中22/7称为约率，355/113称为密率.密率355/113=3.141 592 920…，它与π的误差小于0.000 001.

圆周率Yuanzhoulu

圆的周长和它的直径的比。圆周率是一个无限不循环小数， 通常用希腊字母π来表示， π=3.14159265……。
在已知半径为r的圆内，作内接正六边形，把六边形的边数加倍，得到圆内接正十二边形；再加倍，得到圆内接正二十四边形， ……我们把这样一些正多边形的周长，看作是圆的周长的近似值。把圆内接正多边形的周长与直径的比， 作为圆的周长与直径的比的近似值。当圆内接正多边形的边数不断地成倍增加时，它们的周长p_n不断地增大，越来越接近于圆的周长，圆内接正多边形的周长pn和直径2r的比值， 就越来越接近于圆周长c和直径2r的比值，误差越来越小。只要圆内接正多边形的边数n充分大，误差可以任意地小。
设圆内接正六边形的边长a₆＝r,a_n、a_2n分别表示圆内接正n边形和正2n边形的边长。根据

径为r的圆内接正6、12、24、……边形的边长、周长以及周长与直径的比 （见下表）:

n	边长an	周长pn	pn/2r
6 12 24 48 96 192 384 768	1.00000000r 0.51763809r 0.26105238r 0.13080626r 0.06543817r 0.03272346r 0.01636228r 0.00818121r	6.00000000r 6.21165708r 6.26525722r 6.27870041r 6.28206396r 6.28290510r 6.28311544r 6.28316941r	3.00000000 3.10582854 3.13262861 3.13935021 3.14103198 3.14145255 3.14155772 3.14158471

这样， 我们就得到了一种计算圆周率π的近似值的方法。
我国南北朝时期的数学家祖冲之， 在公元五世纪就已经算得π的值在3.1415926与3.1415927之间，比其它国家早一千年左右。他首创用22/7和355/113作为π的近似值， 其中22/7称为约率， 355/113称为密率， 密率355/113=3.141592920……， 与π的误差小于0.000001。

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圆周率Yuan zhou lu

圆是人类最早认识的几何图形之一。通过对圆面积、圆周长的各种实际测量古人很早就发现，圆的面积与其半径的平方成正比：S=π₁r², 其中π₁是某个常数； 圆的周长和它的直径成正比： C=π₂d, 其中π2是某个常数。人们还发现， π₁和π₂都近似地等于3。最早在数学上严格证明π₁＝π₂＝π, 并且给出求π值的严密算法的是古希腊数学家阿基米德(公元前287—前212，参见该条及“割圆术”)。在中国，《九章算术》中已经明确地认识到了上述事实，公元3世纪刘徽给出了严格证明。
由于π是希腊文περιφξρια（圆周）的第一个字母，δ是δι′αμεてρου（直径）的第一个字母，英国数学家奥特雷德(Oughtred. W.1574—1660)1647年用S/π表示直径与圆周之比。英国数学家琼斯(Jones, W. ,)于1706年最先明确地用π代表圆周与直径之比，即圆周率。1737年欧拉采纳了这个符号，从此人们便逐渐用π表示圆周率了。
对圆周率π的研究，包括其数值、性质与公式等，是数学史上最悠久、最奇特、最富有思想、也是最能体现数学进步的主题之一， 不少学者把π值计算及对π的研究做为衡量古代数学发展水平的标准之一。
在数学发展的早期，人们是通过实验、度量的方式得到粗略的π值的，在漫长的年代里它被取作了。大约公元前1650年， 埃及人得到了一个较好的近似值(16/9)²。历史上对π的研究第一个具有决定性意义的进
步是公元前5世纪希腊人发明了割圆术 （参见该条），而阿基米德以及后来的中国数学家刘徽都给出了由此计算π值的严格数学方法。1593年，法国数学家韦达（参见该条） 给出了π的第一个解析表达式
从此对π的研究进入了解析的时代，1674年，德国数学家莱布尼茨（参见该条）首次给出了关于π的一个十分优美的无穷级数表达式
在1946年电子计算机投入使用之后，利用计算机对π进行研究立即扩大了人们的视野， 使之进入了一个崭新的阶段。
对π的研究方法的每一次重大变革， 都在长时间里推动了更精确的π值计算。利用割圆术，阿基米德得
徽给出π=3.1416; 祖冲之很可能也是利用割圆术得到3. 1415926<π<3.1415927；最高纪录是1630年格林伯根求出的39位小数(参见“割圆术”)。利用解析方法，英国数学家夏普(Sharp, A.)于1699年求至71位小数； 梅钦(Machin, J. 英国， 1706)求至100位小数； 达泽Dase. J. M. Z.，德国1844求至200位小数；尚克斯(Shanks，英国，1873)花费20多年时间求至707位小数， 可惜在第528位上把4错误地求为5，以下的各位小数全部无效；1946年，美国数学家佛格森(Ferguson)发现了这一错误，次年求得正确的710位小数；1949年，美国数学家伦奇(Wrench,J. W.)与史密斯(Smith,L. B.)合作算至1 120位小数， 创解析方法求π值的最高纪录。
1949年， 麦雷兰德 (Maryland, 美国) 利用世界上第一台投入使用的电子计算机ENIAC将π值计算到2 037位小数，这是利用计算机研究π值的第一个结果。此后，π值的精确度迅速提高：1959年，16 167位小数 (裘努埃， 法国); 1961年， 100 265位小数 (伦奇， 尚克斯，美国); 1973年， 100万位 (纪劳德， 法国); 1987年， 134 217 728位小数 (金田安政， 日本)。到1989年， π值已突破了10亿位小数大关。
对π的性质的认识也在不断地深化着。1748年，大数学家欧拉给出e^iπ+1=0这一极为优美的关系式，并猜测π是超越数； 1761年， 德国数学家兰伯特(Lambert,J. H.)证明了π是无理数；1882年，林德曼 (Lindemann,C. L. F., 德国)证明π是超越数，从而彻底解决了困扰人们2000多年的化圆为方问题；1977年， 哈肯 (Haken,W., 美国)猜测π的前几位数决不能成为完全平方数。此外， 在π的小数第710100位开始， 出现了3 333 333, 另一串7个3从第3 204 765位开始出现； 从第995 998位开始出现了上升数列23 456 789，而下降数列876 543 210开始于第2 747 956位。但至今尚不知道π的十进小数表达中是否会出现序列0 123 456789。
有关π的研究工作及其研究者如此之多。涉及范围如此之广，持续时间如此之长，正如一位英国数学家所说：“这个奇妙的3.14159溜进了每一扇门，冲进了每一扇窗， 钻进了每一个烟囱。”