哥德尔不完全性定理

哥德尔在1937年证明。包括两个定理：1.一包括初等数论的形式系统P，如果是一致的，那么就是不完全的，即存在语句A,A和⇁A在P中都不可证。 2.如果上述这样的系统是一致，那么，其一致性在本系统内不可证。该定理是当代数学和逻辑学发展的重要成果。

哥德尔不完全性定理

1931年由奥地利数学家哥德尔在“论数学原理和有关系统中的形式不可判定命题》一文中提出的元数学定理。该定理断定：任一以形式数论系统为子系统的形式系统，如果是相容的，就一定是不完备的。也就是说，在该系统中存在着这样一个命题，它和它的否命题在这一系统内部是不可能证明的。这一命题称为不可判定命题。该定理还有如下推论：任一以形式数论系统为子系统的形式系统，如果是相容的，关于这一系统的相容性就不可能在该系统内得到证明。哥德尔不完全性定理是对希尔伯特纲领的致命打击，因为它清楚地表明，一个形式系统如果是足够丰富的，那末它就不可能既是相容的，又是完备的；而为了证明这种形式系统的相容性，所采用的元理论又必须是更为丰富的。这样，德国数学家希尔伯特1922年提出的纲领即把古典数学组织成相容的、完备的系统，并用有限的方法去证明所说的相容性，就证明是不可能实现的。哥德尔不完全性定理对数理逻辑及数学基础研究的现代发展具有十分重大的影响，被誉为数学和逻辑发展史上的里程碑；同时，它的哲学意义也十分引人注目，对此人们普遍认为有待进一步深入研究。