十进小数Shijinxiaoshu

人们通常所说的小数，实际上是十进小数的简称。在历史上，十进小数最初是做为十进分数的简化形式出现的。在分数计算中，如果分母比较大，通分和运算就会比较复杂。由于使用十进位值制记数法， 如果把分母规定为10的正整数次幂，计算就比较方便，这就是十进分数。把十进分数按照十进位值制的原则写成不带分母的形式， 就产生了十进小数。在西方，一般以荷兰数学家斯台文的《论十进》(1585)一书做为十进小数创立的标志，但实际上，十进小数有着长得多的历史， 而且最初是由中国古代数学家创造的。
公元263年，中国魏晋时杰出数学家刘徽注释《九章算术》，在注解圆面积公式、开平方法和开立方法时首次明确使用了十进分数。例如， 在处理开方不尽数时，如果已经开至个位而仍需继续开方，刘徽指出，对以后开出的各位数，“其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细”，于是就可以求得根的任意精确度的近似值。在这里，刘徽用极限观点描述了一个十进分数构成的级数
其中a_i(i=1, 2, ……， n, ……) 是0, 1, 2, ……9这10个数码之一。这实际上已经揭示了一般十进小数的本质，但在记法上仍是分数，而不是今天意义下的十进小数。
我们今天所说的十进小数，最早出现在13世纪中叶南宋至元初中国数学家的著作中。1247年，秦九韶（参见该条）著《数书九章》，其中将十进小数称为“收数”， 324506.25被记作
其中用“余”字表示该位以后均为奇零（小数）部分，这和小数点的作用是完全相同的。书中还将纯小数0.25、0.8记作 ○= ○ 。从现有资料看，《数书九章》是世界上最早给出现代意义下十进小数表示法的数学著作，“收数”则是十进小数最早的专名。李冶（参见该条）的《测圆海镜》(1248)中大量使用十进小数，步有混小数，也有纯小数，即有正数，也有负(-0.5375)等，在刘瑾的《律吕成书》(约1300)中，106368. 6312忽被记为
在 《丁巨算法》(1355)中，67.68和76.5分别被记为
一格，这些例子说明，在宋元时期，中国数学中的十进小数概念及表示法都已经成熟了。
在其他国家，虽然巴比伦人早在公元前16世纪以前就已习惯使用60进小数，但由于未能引入将整数部分与小数部分区分开的符号，因而记法常常是含糊的，
希腊天文学家托勒密ptolemy沿用巴比伦人的60进小数，将47°42′40″记作μοιρ υμζμβ′μ″，其中μοιρυ是希腊文“单位”。其他希腊字母则是希腊的非位值制数码。一般来说，这种60进小数仅在天文学中使用，而且远不及十进小数简捷方便。
在其他国家，最早使用十进小数的是15世纪初阿拉伯数学家阿尔·卡西 (al-Kshi,? ——1429), 在《算术之纲》(1427)中，他熟练地使用了60进与十进两种分数， 并说明了它们之间的换算法则。在 《圆周论》 中， 他把2π记作
整数
62831853071795865
相当于给出了准确到16位小数的π值。
在欧洲， 十进小数产生之前已有许多预备性的工作。较为明确地使用十进小数大约以波兰-奥地利数学家鲁道夫(Rudolff, C.)出版于1530年的一本数学习题集为最早。他熟练地进行了下列运算：
这一运算过程涉及的十进小数加法达10次以上。但鲁道夫的工作在当时未能受到应有的重视。
1585年， 荷兰数学家、工程师斯台文 （参见该条）出版了他的 《论十进》，其中详细论述了十进位值制记数法的用法及好处， 并且在欧洲首次明确地阐述了十进小数的原理和运算方法， 他用符号(0)把一个数的整数部分与小数（或者说十进分数）部分分开，然后，在小数部分的第1位标明❶, 第2位标明
❷, 依次类推。这些符号写在相应数位的上面或后面，表明这一位是个位之后的第几位，或者理解为这一位的分母是10的几次幂。在行文中，0.3759被记作 3❶7
❷5
❸9
❹，而在实际运算时， 27. 347、37. 675、875. 782三数求和的过程被写成右图的形式. 其最终的运算结果在文中又被写成941(0)3❶0
❷4
❸。
此后，十进小数很快在欧洲普及，特别是在对数发明之后。与此同时，小数记法也经过了长时间的演变。为了表示3.14, 我们可以在16—17世纪数学家的著作中找到许多种不同的方法， 例如：

直到18世纪中，小数点以外的多余记号才被废弃，但直到19世纪末小数记法仍很混乱， 例如3. 14可以写为3. 14, 3, 14, 3,₁₄, 3,₁₄, 3·¹⁴, 3▲14, 3∙14, 3’14,3‘14, 3’⏐14, 3，到本世纪，小数记法大致分为两种：英美派用 “.”作小数点，用“，”作分节号；欧洲大陆派 (德、法等) 用 “，”作小数点， 用 “.”作乘号。
十进小数的发明与普及， 使欧洲数学从繁琐的分数及60进小数计算中解放出来，与印度一阿拉伯数码和对数一起被誉为 “近代计算的奇迹般的动力”。