割圆密率捷法

 《割圆密率捷法》是清代蒙古族科学家明安图讨论无穷幂级数的一部著作。明安图积30余年心血写成此书草稿，临终前嘱其门人陈际新定稿。陈际新会同明安图之子明新以及同学张肱共同整理校算，于乾隆三十九年(1774)始刻成书4卷。书稿成后，由于各种原因未能付梓，但有几个传抄本在数学家中流传。孔广森、张豸冠、朱鸿、李潢、戴敦元、张敦仁、汪莱等人都先后得到或读过此书的抄本。罗士琳于道光元年(1821)从戴敦元家影抄得一部，岑建功又据这一抄本刊刻，于道光十九年(1839)出版了《割圆密率捷法》的第1个印刷本。后来罗士琳也将此书收入其自编的《观我生室汇稿》之中。道光二十年(1840)又有陈氏刊本。清末刘铎编《古今算学丛书》时也将此书收入，这就是《割圆密率捷法》的4种版本。
 明安图，字静庵，清代蒙古正白旗(今内蒙古锡林格勒盟南部)人，生于康熙年间，卒于乾隆年间。明安图早年被选为官学生，入钦天监学习天文和数学，学成后留在钦天监工作，历任五官正、兵部郎中、监正等职。他曾参加康熙组织编纂的《律历渊源》的考测工作，亦曾担任乾隆敕修的《历象考成后编》的副总裁。乾隆二十一年(1756)和二十四年(1759),明安图曾两次率队赴新疆开展大地测绘工作，填补了康熙年间所绘《皇舆全图》中我国西北地区的若干空白。除了钦天监的工作和主持大地测量外，明安图的全部兴趣都集中在对无穷幂级数的研究上了。康熙年间，法国传教士杜德美(Petrus Jartoux)曾将英国数学家格列高里(JamesGregory)和牛顿(Issac Newton)所创的三个无穷幂级数公式传入中国，但是没有说明其理论根据。在西方的微积分知识还没有被介绍到中国来的情况下，明安图依靠纯粹的几何手段，不但证明了上述3个公式，而且还独立地导出了其它6个相关的公式，这些成果都被记载在《割圆密率捷法》一书之中。
 《割圆密率捷法》共4卷。首卷叙述了9个无穷幂级数的内容，分别以r、a、c、b,a表示半径、弧、弦、矢和圆心角，则有：

有前3式为杜德美所介绍，清代有人称上述9个公式为“杜氏九术”是不对的。《割圆密率捷法》和后3卷主要阐述以上公式的来源。明安图设计的“割圆连比例法”,系在圆中构造一系列成比例的三角形，然后利用相似三角形对应边成比例的性质推出一系列连比关系，将它们加以整理就得到了所需的无穷幂级数公式。同时他也开创了由已知函数的展开式求其反函数展开式的新的研究方向，后来被人称为“级数回求”。
 《割圆密率捷法》揭开了中国清代数学家钻研无穷幂级数的序幕。明安图之后，先后有孔广林、董祐诚、项名达、戴煦、徐有壬、夏銮翔、李善兰、丁取忠等人致力于这一课题，在三角函数、反三角函数、对数函数、指数函数，以及椭圆函数的无穷幂级数展开方面获得许多重要成果。日本数学家三上义夫评论道：“圆理发达为最紧要之事件，可比西洋之定积分，其算法则始于所谓杜氏九术”,“然虽云九术，实仅三术，梅珏成收之于《赤水遗珍》,三术用无限级数表三角函数，虽有相当于公式者，而解释之方法不备。乃蒙古族人钦天监监正明安图，积三十余年之辛苦，始考出解析方法，且别附以六术。”(《中国算学之特色》)《割圆密率捷法》在中国近代数学史上占有重要的一页。

割圆密率捷法

四卷。清明安图 (约1692—1763)撰。明安图，字静庵，蒙古族，蒙古正白旗人。1712年为官学生，参加了 《律历渊源》 的编纂工作。1723年任钦天监五官正，1755年参与测量新疆各地经纬度，1762年为钦天监监正。明安图辛勤钻研三十余年，写成《割圆密率捷法》初稿，遗嘱其弟子陈际新、张肱，儿子明新“多续而成之”，经几年工作，陈际新等于1774年始克成书四卷。《割圆密率捷法》是一部研究幂级数展开式的著作。法国传教士杜德美1701年来华曾带来三个幂级数展开式：“圆径求周”、“弧背求正弦”、“弧背求正矢”，其时欧洲解析数学未传入中国，故杜氏未给出上述三式的理论根据，使国人仅得其式而未详其法。明安图乃奋起以中算割圆弧矢理论来证之。《割圆密率捷法》不仅记载了明安图对杜氏三式的证明，更有他由此得到的六个展开式及其证明。明安图的新式是：“弧背求通弦”、“弧背求矢”、“通弦求弧背”、“正弦求弧背”、“正矢求弧背”、“矢求弧背”。《捷法》卷一给出了杜氏三式证明，卷三与卷四的“法解上、法解下”仅解析此基本六法。为证“弧背求弦”，明安图从等分弧入手，找寻本弧通弦与分弧通弦间的关系。依据《数理精蕴》下编卷十六“新增有本弧之正弦求其三分之一弧之正弦”的方法，明安图推导出了本弦通弦与五分之一弧的通弦的关系式并获得结论：当m为奇数时通弦c可以用一个C1/m的多项式来表达。若m为偶数，则c的展开式是以C₁/m为变量的无穷幂级数。当m为数很大时，则分弧通弦的和与全弧弧背密合，他因此推导出一个表示通弦的以弧长为变量的幂级数。明安图于求到以万分之一弧的通弦为变量，全弧通弦的级数展开式后认为： “弧，圆线也； 弦，直线也，二者不同类也。不同类，虽析之至于无穷，不可以一之也。然则终不可相求乎？非也。弧与弦虽不可以一之，苟析之至于无穷，则所以不可一之故见矣。得其不可一之故，即可因理以立法，是又未尝不可以一之也。”他通过割圆连比例法，把弧与弦联系起来，互化曲直，“然而比例相较，而弧、矢、弦相求之密率捷法于是乎成”。明安图的“分弧通弦率求全弧通弦率数”是割圆连比例法证明无穷级数的基础。他指出：“按分弧求全弧通弦，即弧背求通弦所由起也。若以数求之，不胜其繁；今用借根方法，专取其率数，率数定，则数可得而求矣。”利用连比例和代数方法解决割圆密率，正是明安图捷法所在。对给出的证明，他十分自信：“以上九法，皆至精至密，任有圆线求直线，有直线求圆线，虽推至无穷，靡不合也。”当代中算史家李迪盛赞这一工作：“我们有理由认为，明安图是我国变量数学的先驱。他的思想虽晚于西方几十年，但却是独树一帜的，把我国已经落后了的数学向前推进了一步。”明安图的工作对于后世级数理论的研究有重要影响。孔广森《少广正负术》、汪莱 《衡斋算学》、董祐诚《割圆连比例图解》、项名达《象数一原》等都与明的工作有关。陈际新续成《割圆密率捷法》后未能立即出版，但有抄本流传，直到1839年，岑建功从罗士琳处“假录其副，算校付梓”。1840年陈氏刊本，以上两种版本现藏北京图书馆；另外还有《观我生室汇稿》本； 《古今算学丛书》本。