共焦点共轴抛物线系gongjiaodian gongzhou paowuxianxi

方程y²＝2λ(x+λ/2) (λ为任意的非零常数)是共焦点共轴的抛物线系，焦点都是原点(0,0)，轴都重合于X轴，顶点是C(-λ/2,0)，准线是x=-λ.
共焦点共轴的两抛物线互相直交.
证 设共焦点共轴的两抛物线方程 y²＝2λ₁(x+λ₁/2)和y²＝2λ₂ (x+λ₂/2) (λ₁≠λ₂)的交点是P(x₁,y₁)，则y²₁＝2λ₁(x₁+λ₁/2),y²₁＝2λ₂(x₁+λ₂/2)，两式相减，得2 (λ₁-λ₂) x₁+λ²₁-λ²₂＝0.即2x₁+λ₁+λ₂＝0，将x₁＝(λ₁+λ₂)/2代入抛物线方程，得y²₁＝-λ₁λ₂，过点P (x₁,y₁)的两抛物线的切线方程分别是y₁y=λ₁(x+x₁) +λ²₁和y₁y=λ₂ (x+x₁) +λ²₂，而y₁y₁+λ₁λ₂＝y²₁+λ₁λ2=0，故两切线互相垂直，即两抛物线互相直交.