余数与四则运算Yushu yu s_izheyunsuan

设n是一个整数(n>0)，那么在模n的同余类集合上可以自然地引进加、减和乘法运算，而且这些运算保有原来整数相应运算的性质，同余类的运算可以定义如下：从定义可见，前面所说的“自然”的含义。当n是素数时，还可以顺利地引进非零同余类的除法。设是一同余类，且≠，这意味着m不被n整除，因n是素数，故m与n互素，再由互素的性质， 可知存在整数m'、n'，使mm'+nn'=1，因此mm'≡1(modn)，即，设表示另一个同余类，定义。利用同余类四则运算性质， 能给解决同余问题带来很多方便。
例1: 1992年1月15日是星期三，问2000年的元旦是星期几。
解：不难推知1992年元旦也是星期三，92年元旦与2000年元旦之间相隔8年， 相差的天数是 8×365+2 (加2是因为其中有两个闰年， 即1992和1996年， 多两天), 因为 8≡1(mod7), 365≡1(mod7), 故8×365≡1 (mod 7), 8×365+2≡3(mod7), 所以， 2000年元旦是星期六。
例2:修改31 743的某一个数字，可以得到823的倍数，问修改后的这个数是几？（第一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第一试）
解：利用带余除法，可得31 743=38×823+469，注意到2 469=3×823, 因此 31 743=38×823+2 469-2 000=41×823-2 000，即 31 743≡-2 000(mod823)，为得到被823整除的数， 只须修改千位上的数字， 修改后的数为33 743。
例3:我国农历十二属相的顺序为 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。已知1900年为鼠年， 问3000年是什么年？
解： 因3 000-1 900=1 100,
1 100=11×100, 100≡4 (mod12) 故1 100≡11×4≡8mod12, 因此3000年为猴年。