互质数huzhishu

最大公因数为1的一组整数，若(a₁,a₂，…，a_n)=1，则称a₁.a₂，…，an互质，若a₁,a₂，…，a_n中任何两个整数都是互质的，则称它们两两互质.显然，若a₁,a₂，…，a_n两两互质，则a₁,a₂，…，a_n一定互质，反之不一定成立.如，(6,15,35)=1，即6,15,35是互质的，但显然它们不是两两互质的.
互质数有下述重要性质：设a₁,a₂，…，a_n及b₁,b₂，…，b_m是任意两组整数，若前一组中任一整数与后一组中任一整数互质，则a₁a₂…a_n与b₁b₂…b_m互质.
利用互质数的这个性质容易证明下述命题：设n为正整数，m是大于1的整数.若不是整数，则它也一定不是有理数.证明：假定是有理数，则可以写成＝a/b,(a,b)=1,b>1的形式，即表示为分母大于1的既约分数的形式，将等式两边同乘m次方，则得n=a^m/b^m.因为(a,b)=1，故由互质数的上述性质可得(a^m,b^m)=1，且bm>1，由此可见a^m/b^m不可能是整数.这同a^m/b^m＝n矛盾.得证.用类似的方法还可以证明：若N是一个正整数，且(N,10)=1，则lgN一定不是有理数.